Завдання № 15.31. § 15. Правильні многокутники (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Впишіть у коло правильний дванадцятикутник.

Покроковий розв’язок:

1. Геометричне обґрунтування побудови

Правильний дванадцятикутник має 12 рівних сторін і ділить описане коло на 12 рівних дуг.

Центральний кут, що відповідає одній стороні правильного дванадцятикутника, дорівнює:

Центральний кут правильного вписаного шестикутника становить:

Оскільки сторона правильного вписаного шестикутника дорівнює радіусу кола ($a_6=R$), його легко побудувати циркулем. Якщо кожну з отриманих шести дуг кола поділити навпіл (побудувавши бісектриси відповідних центральних кутів або серединні перпендикуляри до сторін шестикутника), то точки перетину цих променів із колом разом із вершинами шестикутника утворять 12 точок, які ділять коло на рівні дуги градусною мірою $30^{\circ }$.

2. Етапи побудови за допомогою циркуля та лінійки

1) Нехай дано коло з центром $O$ та радіусом $R$.

2) Виберемо на колі довільну точку $A$.

3) Не змінюючи розхилу циркуля (який дорівнює радіусу $R$), послідовно відкладемо від точки $A$ по колу засічки та позначимо вершини правильного шестикутника: $B$, $C$, $D$, $M$, $N$.

4) Побудуємо бісектриси центральних кутів $\angle AOB$, $\angle BOC$, $\angle COD$, $\angle DOM$, $\angle MON$, $\angle NOA$ (або серединні перпендикуляри до сторін шестикутника).

5) Точки перетину цих променів із колом позначимо відповідно:

• $K$ — на дузі $AB$;
• $P$ — на дузі $BC$;
• $E$ — на дузі $CD$;
• $F$ — на дузі $DM$;
• $Q$ — на дузі $MN$;
• $R$ — на дузі $NA$.

6) Послідовно сполучимо отримані точки відрізками: $A$ з $K$, $K$ з $B$, $B$ з $P$, $P$ з $C$, $C$ з $E$, $E$ з $D$, $D$ з $F$, $F$ з $M$, $M$ з $Q$, $Q$ з $N$, $N$ з $R$, $R$ з $A$.

Утворений дванадцятикутник $AKBPCEDFMQNR$ є шуканим правильним дванадцятикутником, вписаним у коло.

Відповідь:
Побудовано вписаний у коло правильний дванадцятикутник $AKBPCEDFMQNR$.