Завдання № 15.30. § 15. Правильні многокутники (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Впишіть у коло правильний восьмикутник.

Покроковий розв’язок:

1. Геометричне обґрунтування побудови

Правильний восьмикутник має вісім рівних сторін і вісім рівних кутів. Щоб вписати його в коло, необхідно поділити коло на $8$ рівних дуг. Оскільки повне коло містить $360^{\circ }$, градусна міра кожної дуги повинна дорівнювати:

Поділ можна здійснити за допомогою вписаного квадрата: сторони квадрата стягують дуги мірою $\frac{360^{\circ }}{4}=90^{\circ }$. Якщо побудувати бісектриси центральних кутів квадрата, вони поділять кожну дугу $90^{\circ }$ навпіл — на дві дуги по $45^{\circ }$.

2. План побудови

1) Нехай дано коло із центром у точці $O$.

2) Проведемо два взаємно перпендикулярні діаметри $AC$ та $BD$ ($AC\perp BD$). Точки $A,B,C,D$ утворюють вершини вписаного квадрата $ABCD$.

3) Побудуємо бісектриси утворених прямих центральних кутів $\angle AOB$, $\angle BOC$, $\angle COD$ та $\angle DOA$.

4) Позначимо точки перетину цих бісектрис із колом відповідно як $M,N,P,K$:

• бісектриса кута $\angle AOB$ перетинає коло в точці $M$;
• бісектриса кута $\angle BOC$ перетинає коло в точці $N$;
• бісектриса кута $\angle COD$ перетинає коло в точці $P$;
• бісектриса кута $\angle DOA$ перетинає коло в точці $K$.

5) Проведені промені ділять коло на вісім рівних дуг:

6) Послідовно сполучимо утворені точки відрізками: $AM$, $MB$, $BN$, $NC$, $CP$, $PD$, $DK$, $KA$.

7) Оскільки рівні дуги стягуються рівними хордами, усі сторони одержаного многокутника рівні між собою. Всі його вершини лежать на колі, а кути правильного восьмикутника становлять:

Отже, восьмикутник $AMBNCPDK$ — шуканий правильний восьмикутник, вписаний у коло.

Відповідь:

Опис побудови наведено в розв’язанні; шуканою фігурою є восьмикутник $AMBNCPDK$.