Завдання № 15.27. § 15. Правильні многокутники (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть кількість сторін правильного многокутника, зовнішній кут якого на $108^{\circ }$ менший від внутрішнього.

Покроковий розв’язок:

Внутрішній і зовнішній кути правильного многокутника при одній вершині є суміжними, а також їх можна виразити через кількість сторін $n$. Розв’язати задачу можна двома зручними способами.

Спосіб 1. Через рівняння для кутів правильного многокутника

1. Застосування формул кутів:
Для правильного $n$-кутника:

• градусна міра внутрішнього кута дорівнює $\frac{180^{\circ }\cdot (n-2)}{n}$;
• градусна міра зовнішнього кута дорівнює $\frac{360^{\circ }}{n}$.

2. Складання та розв’язування рівняння:
За умовою задачі внутрішній кут більший за зовнішній на $108^{\circ }$:
$\frac{180^{\circ }\cdot (n-2)}{n}-\frac{360^{\circ }}{n}=108^{\circ }$

Помножимо обидві частини рівняння на $n$ (де $n>2$):
$180^{\circ }\cdot (n-2)-360^{\circ }=108^{\circ }\cdot n$
$180^{\circ }\cdot n-360^{\circ }-360^{\circ }=108^{\circ }\cdot n$
$180^{\circ }\cdot n-720^{\circ }=108^{\circ }\cdot n$

Перенесемо доданки зі змінною $n$ в одну сторону, а числові значення — в іншу:
$180^{\circ }\cdot n-108^{\circ }\cdot n=720^{\circ }$
$72^{\circ }\cdot n=720^{\circ }$
$n=\frac{720^{\circ }}{72^{\circ }}$
$n=10$

Спосіб 2. Через властивість суміжних кутів

1. Знаходження величини кутів:
Оскільки внутрішній кут $\alpha$ та зовнішній кут $\beta$ при одній вершині є суміжними, їхня сума дорівнює $180^{\circ }$:
$\alpha +\beta =180^{\circ }$

За умовою задачі:
$\alpha -\beta =108^{\circ }$

Віднімемо друге рівняння від першого:
$2\cdot \beta =72^{\circ }⟹\beta =36^{\circ }$

2. Обчислення кількості сторін:
Сума всіх зовнішніх кутів опуклого многокутника, взятих по одному при кожній вершині, дорівнює $360^{\circ }$. Оскільки многокутник правильний, усі його зовнішні кути рівні:
$n=\frac{360^{\circ }}{\beta }=\frac{360^{\circ }}{36^{\circ }}=10$

Многокутник має $10$ сторін (правильний десятикутник).

Відповідь: $10$ сторін.