Завдання № 15.26. § 15. Правильні многокутники (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Зовнішній кут правильного многокутника становить $\frac{2}{7}$ від внутрішнього. Скільки вершин у цього многокутника?

Покроковий розв’язок:

1. Зв’язок між внутрішнім і зовнішнім кутами многокутника
За означенням, внутрішній і зовнішній кути правильного многокутника при одній і тій самій вершині є суміжними. Отже, їхня сума дорівнює $180^{\circ }$:
$\alpha +\beta =180^{\circ }$
де $\alpha$ — внутрішній кут, а $\beta$ — зовнішній кут правильного многокутника.

2. Обчислення градусної міри кутів
За умовою задачі зовнішній кут становить $\frac{2}{7}$ від внутрішнього, тобто:
$\beta =\frac{2}{7}\alpha$

Підставимо цей вираз у рівність для суміжних кутів:
$\alpha +\frac{2}{7}\alpha =180^{\circ }$
$\frac{9}{7}\alpha =180^{\circ }$
$\alpha =\frac{180^{\circ }\cdot 7}{9}=20^{\circ }\cdot 7=140^{\circ }$

Тоді зовнішній кут дорівнює:
$\beta =180^{\circ }-140^{\circ }=40^{\circ }$

3. Знаходження кількості вершин многокутника
Сума всіх зовнішніх кутів будь-якого опуклого многокутника, взятих по одному при кожній вершині, дорівнює $360^{\circ }$. Оскільки многокутник правильний, усі його зовнішні кути рівні між собою.

Отже, кількість вершин (і сторін) $n$ обчислюється за формулою:
$n=\frac{360^{\circ }}{\beta }$
$n=\frac{360^{\circ }}{40^{\circ }}=9$

Відповідь: $9$ вершин.