Завдання № 15.25. § 15. Правильні многокутники (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Зовнішній кут правильного многокутника дорівнює $20^{\circ }$. Знайдіть, скільки у многокутника вершин.

Покроковий розв’язок:

1. Теоретичні відомості
У будь-якому опуклому $n$-кутнику сума зовнішніх кутів, узятих по одному при кожній вершині, завжди дорівнює $360^{\circ }$.

Оскільки за умовою многокутник є правильним, усі його внутрішні кути рівні між собою. Суміжний із внутрішнім кутом кут називається зовнішнім кутом многокутника, тому всі зовнішні кути правильного многокутника також рівні між собою.

2. Знаходження кількості вершин
Позначимо кількість вершин (і сторін) многокутника через $n$, а величину кожного зовнішнього кута — через $\beta$.

Формула зв’язку між градусною мірою зовнішнього кута правильного многокутника та кількістю його сторін має вигляд:
$\beta =\frac{360^{\circ }}{n}$

Виразимо кількість вершин $n$:
$n=\frac{360^{\circ }}{\beta }$

Підставимо дане за умовою значення $\beta =20^{\circ }$:
$n=\frac{360^{\circ }}{20^{\circ }}=18$

Отже, даний правильний многокутник має $18$ вершин (вісімнадцятикутник).

Відповідь:
$18$ вершин.