Завдання № 15.21. § 15. Правильні многокутники (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Накресліть коло, радіус якого $4\text{ см}$. Впишіть у коло правильний шестикутник.

Покроковий розв’язок:

1. Теоретичне обґрунтування побудови
Центральний кут правильного шестикутника, що спирається на його сторону, дорівнює:
$\alpha =\frac{360^{\circ }}{6}=60^{\circ }$

Розглянемо трикутник, утворений двома радіусами, проведеними до сусідніх вершин шестикутника, та стороною шестикутника. Цей трикутник є рівнобедреним з бічними сторонами, що дорівнюють радіусу кола $R$. Оскільки кут при вершині дорівнює $60^{\circ }$, то кути при основі також становлять:
$\frac{180^{\circ }-60^{\circ }}{2}=60^{\circ }$

Отже, цей трикутник є рівностороннім, а сторона правильного вписаного шестикутника дорівнює радіусу описаного кола:
$a_6=R=4\text{ см}$

Це дає змогу побудувати правильний шестикутник за допомогою циркуля та лінійки без вимірювання кутів.

2. Етапи побудови

1) За допомогою лінійки відміряємо розхил циркуля, що дорівнює $4\text{ см}$, і будуємо коло із центром у точці $O$.

2) Позначаємо на колі довільну точку $A_1$, яка буде першою вершиною шестикутника.

3) Не змінюючи розхилу циркуля ($R=4\text{ см}$), ставимо вістря в точку $A_1$ та робимо засічку на колі, отримуючи вершину $A_2$.

4) Послідовно переставляючи вістря циркуля в кожну щойно знайдену точку тим самим радіусом, будуємо засічки для вершин $A_3$, $A_4$, $A_5$ та $A_6$. Шоста засічка від точки $A_6$ точно повертається у початкову точку $A_1$, що підтверджує правильність поділу кола на 6 рівних дуг.

5) Сполучаємо послідовно отримані точки $A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6$ за допомогою лінійки.

Отриманий многокутник $A_1{A}_2{A}_3{A}_4{A}_5{A}_6$ є шуканим правильним шестикутником зі стороною $4\text{ см}$, вписаним у коло радіуса $4\text{ см}$.

Відповідь:
Побудовано коло радіуса $R=4\text{ см}$ та вписаний у нього правильний шестикутник $A_1{A}_2{A}_3{A}_4{A}_5{A}_6$ зі стороною $a_6=R=4\text{ см}$.