Завдання № 15.17. § 15. Правильні многокутники (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Сторона квадрата дорівнює $2\text{ см}$. Знайдіть радіуси вписаного та описаного навколо нього кіл.

Покроковий розв’язок:

1. Геометричний зміст та побудова

Нехай задано квадрат $ABCD$ зі стороною $a=2\text{ см}$. Центр $O$ вписаного та описаного кіл квадрата збігається з точкою перетину його діагоналей.

• Радіус вписаного кола $r$ дорівнює перпендикуляру, проведеному з центра $O$ до будь-якої зі сторін квадрата.
• Радіус описаного кола $R$ дорівнює відстані від центра $O$ до будь-якої з вершин квадрата (половині діагоналі).

2. Знаходження радіуса вписаного кола

Радіус кола, вписаного в квадрат, дорівнює половині сторони цього квадрата:
$r=\frac{a}{2}$

Підставимо значення довжини сторони $a=2\text{ см}$:
$r=\frac{2}{2}=1\text{ см}$

3. Знаходження радіуса описаного кола

Діагональ квадрата $d$ є діаметром описаного кола ($d=2R$).
За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника $ACD$ знайдемо діагональ $AC$:
$d=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$

Оскільки $a=2\text{ см}$, маємо:
$d=2\sqrt{2}\text{ см}$

Тоді радіус описаного навколо квадрата кола дорівнює половині його діагоналі:
$R=\frac{d}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\text{ см}$

Відповідь: $1\text{ см}$, $\sqrt{2}\text{ см}$.