Завдання № 15.15. § 15. Правильні многокутники (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Який найбільший центральний кут може бути у правильного многокутника?

Покроковий розв’язок:

1. Формула для обчислення центрального кута правильного многокутника

Центральним кутом правильного многокутника називають кут, під яким видно його сторону з центра описаного (або вписаного) кола.

Оскільки всі $n$ сторін правильного $n$-кутника рівні, то й відповідні центральні кути є рівними між собою. Сума всіх центральних кутів дорівнює повному куту, тобто $360^{\circ }$.

Тому градусна міра центрального кута $\alpha$ правильного $n$-кутника визначається за формулою:
$\alpha =\frac{360^{\circ }}{n}$

де $n$ — кількість сторін (або вершин) многокутника.

2. Дослідження умови максимуму

У формулі $\alpha =\frac{360^{\circ }}{n}$ величина кута $\alpha$ обернено пропорційна до кількості сторін $n$. Щоб значення дробу було найбільшим, його знаменник $n$ має бути найменшим можливим натуральним числом.

За означенням многокутника, мінімальна кількість сторін дорівнює трьом ($n\ge 3$). Найменшим правильним многокутником є правильний (рівносторонній) трикутник ($n=3$).

3. Обчислення найбільшого значення

Підставимо значення $n=3$ у формулу:
$\alpha =\frac{360^{\circ }}{3}=120^{\circ }$

Таким чином, найбільший центральний кут має правильний трикутник, і він дорівнює $120^{\circ }$.

Відповідь:
$120^{\circ }$.