Завдання № 15.14. § 15. Правильні многокутники (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

1) Знайдіть кількість сторін правильного многокутника, якщо його кут дорівнює $108^{\circ }$.

2) Кількість сторін дорівнює століттю, у якому засновано місто Алушта (Автономна Республіка Крим). У якому столітті засновано місто?

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження кількості сторін правильного многокутника

Нехай $n$ — шукана кількість сторін правильного многокутника.

Кут $\alpha$ правильного $n$-кутника обчислюється за формулою:

За умовою задачі $\alpha =108^{\circ }$. Складемо та розв’яжемо рівняння:

Помножимо обидві частини рівняння на $n$ ($n>2$):

Розкриємо дужки в лівій частині рівняння:

Перенесемо доданки зі змінною $n$ в одну частину рівняння, а числові значення — в іншу:

Отже, многокутник має $5$ сторін (є правильним п’ятикутником).

(Альтернативний спосіб: градусна міра суміжного з ним зовнішнього кута дорівнює $180^{\circ }-108^{\circ }=72^{\circ }$. Оскільки сума всіх зовнішніх кутів опуклого многокутника, взятих по одному при кожній вершині, дорівнює $360^{\circ }$, то кількість сторін становить $n=\frac{360^{\circ }}{72^{\circ }}=5$.)

2. Визначення століття заснування міста

За умовою задачі номер століття, у якому засновано місто Алушта, дорівнює кількості сторін знайденого правильного многокутника.

Оскільки $n=5$, місто Алушта було засноване у V столітті.

Відповідь:

1) $5$ сторін;

2) V століття.