Завдання № 15.13. § 15. Правильні многокутники (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

1) Скільки сторін має правильний многокутник, якщо його кут дорівнює $165^{\circ }$?

2) Сприймаючи кількість сторін як число, згадайте, яка видатна подія для України пов’язана із цим числом.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження кількості сторін правильного многокутника

Нехай шуканий правильний многокутник має $n$ сторін.

Градусна міра кута $\alpha$ правильного $n$-кутника обчислюється за формулою:
$\alpha =\frac{180^{\circ }\cdot (n-2)}{n}$

За умовою задачі кут дорівнює $165^{\circ }$. Складемо рівняння:
$\frac{180^{\circ }\cdot (n-2)}{n}=165^{\circ }$

Помножимо обидві частини рівняння на $n$ (де $n>2$):
$180^{\circ }\cdot (n-2)=165^{\circ }\cdot n$

Розкриємо дужки:
$180^{\circ }\cdot n-360^{\circ }=165^{\circ }\cdot n$

Перенесемо доданки зі змінною $n$ у ліву частину, а числові значення — у праву:
$180^{\circ }\cdot n-165^{\circ }\cdot n=360^{\circ }$
$15^{\circ }\cdot n=360^{\circ }$

Знайдемо $n$:
$n=\frac{360^{\circ }}{15^{\circ }}$
$n=24$

Отже, многокутник має $24$ сторони (є двадцятичотирикутником).

(Альтернативний спосіб перевірки: суміжний із ним зовнішній кут дорівнює $180^{\circ }-165^{\circ }=15^{\circ }$. Оскільки сума всіх зовнішніх кутів опуклого многокутника дорівнює $360^{\circ }$, кількість сторін становить $n=\frac{360^{\circ }}{15^{\circ }}=24$.)

2. Історична довідка

Число $24$ безпосередньо пов’язане з найвизначнішою подією в новітній історії нашої держави — прийняттям Акта проголошення незалежності України 24 серпня 1991 року (День Незалежності України).

Відповідь:

1) $24$ сторони;

2) 24 серпня — День Незалежності України.