Завдання № 14. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Точка $A(1;0)$ лежить на колі із центром у початку координат і є вершиною правильного трикутника, вписаного в це коло. Знайдіть координати двох інших вершин трикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення радіуса кола та властивостей трикутника
Центр кола лежить у початку координат — точці $O(0;0)$. Оскільки вершина $A(1;0)$ належить колу, радіус кола $R$ дорівнює довжині відрізка $OA$:
$R=OA=\sqrt{(1-0{)}^2+(0-0{)}^2}=1$

Правильний трикутник $ABC$ вписаний у коло, отже, його вершини ділять коло на три рівні дуги:
$\cup AB=\cup BC=\cup CA=\frac{360^{\circ }}{3}=120^{\circ }$
Відповідні центральні кути також дорівнюють градусній мірі дуг, на які вони спираються:
$\angle AOB=\angle BOC=\angle COA=120^{\circ }$

2. Знаходження координат вершини $B$
Нехай вершина $B(x_1;y_1)$ розміщена у другій координатній чверті. Тоді кут між додатною піввіссю $Ox$ (променем $OA$) і радіус-вектором $\overrightarrow{OB}$ дорівнює $\angle AOB=120^{\circ }$.

За означенням синуса і косинуса кута повороту для одиничного кола:
$x_1=R\cdot \cos 120^{\circ }=1\cdot \cos (180^{\circ }-60^{\circ })=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}$
$y_1=R\cdot \sin 120^{\circ }=1\cdot \sin (180^{\circ }-60^{\circ })=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Геометрично це також підтверджується з прямокутного трикутника $△BOP$ (де точка $P$ — основа перпендикуляра, опущеного з вершини $B$ на вісь абсцис):

• $\angle BOP=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$;
• гіпотенуза $OB=R=1$;
• катет $OP=OB\cdot \cos 60^{\circ }=1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$;
• катет $BP=OB\cdot \sin 60^{\circ }=1\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Оскільки точка $B$ лежить у другій чверті, $x_1<0$, а $y_1>0$, тому її координати:
$B\left(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

3. Знаходження координат вершини $C$
Оскільки вершина $A(1;0)$ лежить на осі абсцис, а трикутник $ABC$ є правильним ($AB=AC$), вісь $Ox$ є віссю симетрії трикутника $ABC$.

Вершина $C(x_2;y_2)$ симетрична вершині $B$ відносно осі абсцис, отже:
$x_2=x_1=-\frac{1}{2}$
$y_2=-y_1=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Таким чином, координати вершини $C$:
$C\left(-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Відповідь:
$\left(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ та $\left(-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$