Завдання № 14. Вправи для повторення розділу 6 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Точка перетину діагоналей паралелограма розміщена на відстані $7 см$ від площини $α$ , яка не перетинає площину паралелограма. Дві вершини паралелограма розміщені на відстанях $5 см$ і $11 см$ від площини $α$ . На яких відстанях від площини $α$ розміщені дві інші вершини паралелограма?

Покроковий розв’язок:

1. Властивості фігури та розташування точок

Нехай $A B C D$ — заданий паралелограм, а точка $O$ — точка перетину його діагоналей $A C$ та $B D$ . За властивістю паралелограма діагоналі точкою перетину діляться навпіл, отже:

$O$ — середина діагоналі $A C$ ;
$O$ — середина діагоналі $B D$ .

Опустимо перпендикуляри з вершин паралелограма та з точки $O$ на площину $α$ :
$A A^{'} ⊥ α$ , $B B^{'} ⊥ α$ , $C C^{'} ⊥ α$ , $D D^{'} ⊥ α$ , $O O^{'} ⊥ α$ .

Довжини цих перпендикулярів дорівнюють відстаням від відповідних точок до площини $α$ . Оскільки всі вони перпендикулярні до однієї площини, вони паралельні між собою:
$A A^{'} ∥ B B^{'} ∥ C C^{'} ∥ D D^{'} ∥ O O^{'}$

2. Аналіз розміщення заданих вершин

За умовою, $O O^{'} = 7 см$ .

Якби дві відомі вершини були протилежними (наприклад, $A$ і $C$ ), то відрізок $O O^{'}$ був би середньою лінією трапеції $A A^{'} C^{'} C$ , і його довжина дорівнювала б півсумі основ:
$\frac{5 + 11}{2} = 8 см \neq = 7 см$

Отже, вершини з відстанями $5 см$ і $11 см$ не можуть бути протилежними — вони є сусідніми.

Нехай $A A^{'} = 5 см$ , а $B B^{'} = 11 см$ . Знайдемо відстані від двох інших вершин ( $C C^{'}$ та $D D^{'}$ ).

3. Обчислення відстані $C C^{'}$

Розглянемо чотирикутник $A A^{'} C^{'} C$ . Оскільки прямі $A A^{'}$ і $C C^{'}$ паралельні, точки $A, A^{'}, C^{'}, C$ лежать в одній площині, утворюючи прямокутну трапецію з основами $A A^{'}$ і $C C^{'}$ .

Точка $O$ є серединою бічної сторони $A C$ , а пряма $O O^{'}$ паралельна основам трапеції ( $O O^{'} ∥ A A^{'} ∥ C C^{'}$ ). За теоремою Фалеса точка $O^{'}$ є серединою сторони $A^{'} C^{'}$ . Таким чином, відрізок $O O^{'}$ є середньою лінією трапеції $A A^{'} C^{'} C$ .

За властивістю середньої лінії трапеції:
$O O^{'} = \frac{A A ^{'} + C C ^{'}}{2}$

Підставимо відомі числові значення:
$7 = \frac{5 + C C ^{'}}{2}$
$5 + C C^{'} = 7 \cdot 2$
$5 + C C^{'} = 14$
$C C^{'} = 14 - 5 = 9 см$

4. Обчислення відстані $D D^{'}$

Міркуючи аналогічно для діагоналі $B D$ , розглянемо чотирикутник $B B^{'} D^{'} D$ . Оскільки $B B^{'} ∥ D D^{'}$ , точки $B, B^{'}, D^{'}, D$ лежать в одній площині, а чотирикутник $B B^{'} D^{'} D$ є прямокутною трапецією з основами $B B^{'}$ і $D D^{'}$ .

Оскільки точка $O$ — середина сторони $B D$ і $O O^{'} ∥ B B^{'} ∥ D D^{'}$ , відрізок $O O^{'}$ є середньою лінією трапеції $B B^{'} D^{'} D$ :
$O O^{'} = \frac{B B ^{'} + D D ^{'}}{2}$

Підставимо відповідні значення:
$7 = \frac{11 + D D ^{'}}{2}$
$11 + D D^{'} = 7 \cdot 2$
$11 + D D^{'} = 14$
$D D^{'} = 14 - 11 = 3 см$

Відповідь:
$9 см$ і $3 см$ .

Завдання № 14. Вправи для повторення розділу 6 (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку