Завдання № 14. Вправи для повторення розділу 4 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Спільна хорда двох кіл, що перетинаються, є для одного з них стороною вписаного квадрата, а для другого — стороною правильного вписаного шестикутника. Знайдіть відстань між центрами кіл, якщо радіус меншого з них дорівнює $r$ (розгляньте два можливих випадки розміщення кіл).

Покроковий розв’язок:

1. Визначення радіусів кіл та довжини хорди

Нехай $AB$ — спільна хорда двох кіл, $O_1$ — центр кола, у яке вписано квадрат, а $O_2$ — центр кола, у яке вписано правильний шестикутник. Позначимо радіуси цих кіл відповідно через $R_1$ та $R_2$.

Сторона правильного вписаного чотирикутника (квадрата) виражається через радіус описаного кола за формулою:
$AB=R_1\cdot \sqrt{2}⟹R_1=\frac{AB}{\sqrt{2}}$

Сторона правильного вписаного шестикутника дорівнює радіусу описаного кола:
$AB=R_2⟹R_2=AB$

Порівняємо радіуси $R_1$ та $R_2$:
$R_1=\frac{AB}{\sqrt{2}}<AB=R_2$

Отже, меншим є коло з центром $O_1$, у яке вписано квадрат. За умовою задачі радіус меншого кола дорівнює $r$, тому:
$R_1=r$

Знаходимо довжину хорди $AB$:
$AB=r\sqrt{2}$

Знаходимо радіус більшого кола $R_2$:
$R_2=AB=r\sqrt{2}$

2. Обчислення відстаней від центрів кіл до спільної хорди

Лінія центрів $O_1{O}_2$ двох кіл, що перетинаються, є серединним перпендикуляром до їхньої спільної хорди $AB$. Нехай $K$ — точка перетину прямої $O_1{O}_2$ з хордою $AB$. Тоді $K$ — середина хорди $AB$, а кути $\angle O_{1}KA=\angle O_{2}KA=90^{\circ }$.

Довжина половини хорди:
$AK=\frac{AB}{2}=\frac{r\sqrt{2}}{2}$

Знайдемо відстань $O_{1}K$ від центра $O_1$ до хорди $AB$ з прямокутного трикутника $△AK{O}_1$ за теоремою Піфагора:
$O_{1}K=\sqrt{O_1{A}^2-A{K}^2}=\sqrt{r^2-{\left(\frac{r\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\sqrt{r^2-\frac{2r^2}{4}}=\sqrt{\frac{r^2}{2}}=\frac{r}{\sqrt{2}}=\frac{r\sqrt{2}}{2}$

Знайдемо відстань $O_{2}K$ від центра $O_2$ до хорди $AB$ з прямокутного трикутника $△AK{O}_2$ за теоремою Піфагора:
$O_{2}K=\sqrt{O_2{A}^2-A{K}^2}=\sqrt{(r\sqrt{2}{)}^2-{\left(\frac{r\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\sqrt{2r^2-\frac{r^2}{2}}=\sqrt{\frac{3r^2}{2}}=\frac{r\sqrt{6}}{2}$

3. Розгляд двох випадків взаємного розміщення центрів

Випадок 1. Центри кіл лежать по різні боки від хорди $AB$

У цьому випадку точка $K$ лежить на відрізку $O_1{O}_2$ між точками $O_1$ та $O_2$. Тоді відстань між центрами дорівнює сумі відстаней від центрів до хорди:
$O_1{O}_2=O_{1}K+O_{2}K=\frac{r\sqrt{2}}{2}+\frac{r\sqrt{6}}{2}=\frac{r(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2}$

Випадок 2. Центри кіл лежать по один бік від хорди $AB$

Оскільки $O_{2}K=\frac{r\sqrt{6}}{2}>\frac{r\sqrt{2}}{2}=O_{1}K$, точка $O_1$ лежить між точкою $O_2$ та точкою $K$. Тоді відстань між центрами дорівнює різниці відстаней від центрів до хорди:
$O_1{O}_2=O_{2}K-O_{1}K=\frac{r\sqrt{6}}{2}-\frac{r\sqrt{2}}{2}=\frac{r(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2}$

Відповідь: $\frac{r(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2}$ або $\frac{r(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2}$.