Завдання № 14. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

У трикутнику зі сторонами $3 см$ , $4 см$ і $6 см$ проведено медіану до більшої сторони. Визначте косинус кута, що утворює ця медіана з меншою стороною трикутника.

Покроковий розв’язок:

Нехай у $△ A B C$ сторони дорівнюють: $A B = 3 см$ (менша сторона), $B C = 4 см$ , $A C = 6 см$ (більша сторона).
Відрізок $B K$ — медіана, проведена до сторони $A C$ . Тоді точка $K$ ділить сторону $A C$ навпіл:
$A K = K C = \frac{A C}{2} = \frac{6}{2} = 3 см$

Потрібно знайти косинус кута $∠ A B K$ .

1. Обчислення довжини медіани $B K$

За формулою довжини медіани трикутника, проведеної до сторони $A C$ :
$B K^{2} = \frac{2 \cdot A B ^{2} + 2 \cdot B C ^{2} - A C ^{2}}{4}$

Підставимо значення сторін трикутника:
$B K^{2} = \frac{2 \cdot 3 ^{2} + 2 \cdot 4 ^{2} - 6 ^{2}}{4} = \frac{2 \cdot 9 + 2 \cdot 16 - 36}{4} = \frac{18 + 32 - 36}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$

Звідси довжина медіани:
$B K = \frac{14}{4} = \frac{14}{2} см$

2. Обчислення косинуса шуканого кута

Розглянемо $△ A B K$ , у якому $A B = 3 см$ , $A K = 3 см$ , $B K = \frac{14}{2} см$ .

За теоремою косинусів для сторони $A K$ :
$A K^{2} = A B^{2} + B K^{2} - 2 \cdot A B \cdot B K \cdot cos ∠ A B K$

Виразимо звідси косинус шуканого кута $cos ∠ A B K$ :
$cos ∠ A B K = \frac{A B ^{2} + B K ^{2} - A K ^{2}}{2 \cdot A B \cdot B K}$

Оскільки $A B = A K = 3 см$ , маємо $A B^{2} - A K^{2} = 0$ . Підставимо довжини:
$cos ∠ A B K = \frac{3 ^{2} + ( \frac{14}{2} ) ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot \frac{14}{2}} = \frac{\frac{14}{4}}{3 \cdot 14} = \frac{14}{4 \cdot 3 \cdot 14} = \frac{14}{12 \cdot 14} = \frac{14}{12}$

Відповідь:
$\frac{14}{12}$

Завдання № 14. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку