Завдання № 14. Вправи для повторення розділу 1 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть знак виразу:

1) $\sin 18^{\circ }$

2) $\sin 125^{\circ }$

3) $\cos 137^{\circ }$

4) $\cos 81^{\circ }$

5) $\mathrm{tg}78^{\circ }$

6) $\mathrm{tg}92^{\circ }$

Покроковий розв’язок:

Для визначення знаків тригонометричних функцій кутів від $0^{\circ }$ до $180^{\circ }$ використовують означення синуса, косинуса й тангенса на одиничному півколі:

• Кут $\alpha$ є гострим ($0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$, I чверть): синус, косинус і тангенс набувають додатних значень ($\sin \alpha >0$, $\cos \alpha >0$, $\mathrm{tg}\alpha >0$).
• Кут $\alpha$ є тупим ($90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$, II чверть): синус є додатним ($\sin \alpha >0$), а косинус і тангенс — від’ємними ($\cos \alpha <0$, $\mathrm{tg}\alpha <0$).

Визначимо знаки для кожного виразу:

1. Дослідження знака $\sin 18^{\circ }$
Кут $18^{\circ }$ лежить у I чверті ($0^{\circ }<18^{\circ }<90^{\circ }$).
Оскільки ордината точки одиничного півкола в I чверті є додатною, то $\sin 18^{\circ }>0$ (знак «$+$»).

2. Дослідження знака $\sin 125^{\circ }$
Кут $125^{\circ }$ лежить у II чверті ($90^{\circ }<125^{\circ }<180^{\circ }$).
Оскільки ордината точки одиничного півкола у II чверті є додатною, то $\sin 125^{\circ }>0$ (знак «$+$»).

3. Дослідження знака $\cos 137^{\circ }$
Кут $137^{\circ }$ лежить у II чверті ($90^{\circ }<137^{\circ }<180^{\circ }$).
Оскільки абсциса точки одиничного півкола у II чверті є від’ємною, то $\cos 137^{\circ }<0$ (знак «$-$»).

4. Дослідження знака $\cos 81^{\circ }$
Кут $81^{\circ }$ лежить у I чверті ($0^{\circ }<81^{\circ }<90^{\circ }$).
Оскільки абсциса точки одиничного півкола в I чверті є додатною, то $\cos 81^{\circ }>0$ (знак «$+$»).

5. Дослідження знака $\mathrm{tg}78^{\circ }$
Кут $78^{\circ }$ лежить у I чверті ($0^{\circ }<78^{\circ }<90^{\circ }$).
Тангенс гострого кута визначається як відношення двох додатних величин ($\frac{\sin 78^{\circ }}{\cos 78^{\circ }}>0$), отже, $\mathrm{tg}78^{\circ }>0$ (знак «$+$»).

6. Дослідження знака $\mathrm{tg}92^{\circ }$
Кут $92^{\circ }$ лежить у II чверті ($90^{\circ }<92^{\circ }<180^{\circ }$).
Тангенс тупого кута є відношенням додатного синуса до від’ємного косинуса ($\frac{\sin 92^{\circ }}{\cos 92^{\circ }}<0$), отже, $\mathrm{tg}92^{\circ }<0$ (знак «$-$»).

Відповідь:

1) Додатний ($+$);

2) Додатний ($+$);

3) Від’ємний ($-$, тобто $\cos 137^{\circ }<0$);

4) Додатний ($+$);

5) Додатний ($+$);

6) Від’ємний ($-$, тобто $\mathrm{tg}92^{\circ }<0$).