Завдання № 14.7. § 14. Формули для знаходження площі трикутника (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Доведіть, що площу $S$ ромба, сторона якого дорівнює $a$, а один з кутів — $\alpha$, можна знайти за формулою:
$S=a^2\sin \alpha$

Покроковий розв’язок:

1. Визначення ромба та формула площі паралелограма

Нехай дано ромб $ABCD$, у якого довжина кожної зі сторін дорівнює $a$:
$AB=BC=CD=AD=a$

Оскільки ромб є окремим випадком паралелограма, його площу можна обчислити за теоремою про площу паралелограма — як добуток довжин двох суміжних сторін на синус кута між ними:
$S=AB\cdot AD\cdot \sin \angle A$

2. Обчислення площі через гострий кут

Якщо кут $\alpha$ є гострим кутом ромба ($\angle A=\alpha$):
$S=a\cdot a\cdot \sin \alpha =a^2\sin \alpha$

3. Випадок, коли кут $\alpha$ є тупим

Сума сусідніх кутів паралелограма (ромба), що прилягають до однієї сторони, дорівнює $180^{\circ }$ (як внутрішні односторонні кути при паралельних прямих $BC\parallel AD$ та січній $AB$):
$\angle B=180^{\circ }-\angle A=180^{\circ }-\alpha$

За формулою зведення тригонометричних функцій:
$\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$

Отже, незалежно від того, який саме з двох кутів ромба задано (гострий чи тупий), значення синуса цього кута залишається однаковим:
$S=a\cdot a\cdot \sin \angle B=a^2\sin (180^{\circ }-\alpha )=a^2\sin \alpha$

Твердження повністю доведено.

Відповідь:
Твердження доведено: площа ромба зі стороною $a$ та кутом $\alpha$ дорівнює $S=a^2\sin \alpha$.