Завдання № 14.53. § 14. Формули для знаходження площі трикутника (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

Доведіть, що в будь-якому опуклому чотирикутнику сума довжин діагоналей менша від його периметра.

Покроковий розв’язок:

1. Введення позначень

Нехай задано довільний опуклий чотирикутник $A B C D$ . Позначимо довжини його сторін:

Периметр чотирикутника $P$ дорівнює сумі довжин усіх його сторін:
$P = a + b + m + n$

Проведемо діагоналі $A C$ та $B D$ і позначимо їхні довжини відповідно:

2. Застосування нерівності трикутника

За нерівністю трикутника, будь-яка сторона трикутника завжди строго менша від суми двох інших його сторін.

Розглянемо чотири трикутники, на які діагоналі розбивають чотирикутник:

1) З $△ A B C$ для діагоналі $A C$ :
$d_{1} < a + b$

2) З $△ A D C$ для діагоналі $A C$ :
$d_{1} < m + n$

3) З $△ A B D$ для діагоналі $B D$ :
$d_{2} < a + n$

4) З $△ B C D$ для діагоналі $B D$ :
$d_{2} < b + m$

3. Додавання нерівностей

Додамо почленно всі чотири строгі нерівності однакового знака:
$d_{1} + d_{1} + d_{2} + d_{2} < (a + b) + (m + n) + (a + n) + (b + m)$

Зведемо подібні доданки в лівій та правій частинах нерівності:
$2 \cdot d_{1} + 2 \cdot d_{2} < 2 \cdot a + 2 \cdot b + 2 \cdot m + 2 \cdot n$

Винесемо спільний множник $2$ за дужки:
$2 \cdot (d_{1} + d_{2}) < 2 \cdot (a + b + m + n)$

Поділимо обидві частини нерівності на додатне число $2$ :
$d_{1} + d_{2} < a + b + m + n$

Оскільки сума $a + b + m + n$ є периметром чотирикутника $P$ , маємо:
$d_{1} + d_{2} < P$

Твердження повністю доведено: сума довжин діагоналей будь-якого опуклого чотирикутника завжди строго менша від його периметра.

Відповідь:
Твердження доведено ( $d_{1} + d_{2} < P$ ).