Завдання № 14.51. § 14. Формули для знаходження площі трикутника (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Побудуйте рівносторонній трикутник і квадрат. Навколо кожної із цих фігур опишіть коло і в кожну з них впишіть коло.

Покроковий розв’язок:

1. Побудова кіл для рівностороннього трикутника

У правильному (рівносторонньому) трикутнику всі сторони рівні, а всі кути становлять по $60^{\circ }$. За властивістю правильного многокутника центри вписаного й описаного кіл збігаються:

• Будуємо довільний рівносторонній трикутник $ABC$.
• Проводимо бісектриси його внутрішніх кутів (або медіани / висоти, оскільки в рівносторонньому трикутнику вони збігаються). Точка їхнього перетину $O$ є спільним центром обох кіл.
• Описане коло: ставимо вістря циркуля в точку $O$, задаємо розхил циркуля, що дорівнює відстані до будь-якої з вершин трикутника ($R=OA=OB=OC$), і проводимо коло.
• Вписане коло: проводимо з точки $O$ перпендикуляр до будь-якої сторони трикутника (наприклад, до $AC$). Його довжина є радіусом вписаного кола $r$. Описуємо коло з центром $O$ та радіусом $r$ (за теоремою про точку перетину медіан, $r=\frac{R}{2}$).

2. Побудова кіл для квадрата

Квадрат є правильним чотирикутником, отже, центри вписаного й описаного кіл також збігаються:

• Будуємо квадрат $EFGH$.
• Проводимо діагоналі $EG$ та $FH$. Точка їхнього перетину $P$ є центром симетрії квадрата, а отже, і спільним центром вписаного й описаного кіл.
• Описане коло: обираємо точку $P$ за центр і проводимо коло радіусом, що дорівнює половині діагоналі квадрата ($R=PE=PF=PG=PH$).
• Вписане коло: з точки $P$ опускаємо перпендикуляр на будь-яку сторону квадрата (його довжина дорівнює половині довжини сторони: $r=\frac{a}{2}$). Проводимо коло з центром $P$ та радіусом $r$, яке дотикається до всіх чотирьох сторін квадрата в їхніх серединах.

Відповідь:

1) Для рівностороннього трикутника центром вписаного й описаного кіл є точка перетину його бісектрис (висот, медіан) $O$. Радіус описаного кола $R=OA$, радіус вписаного кола $r=\frac{R}{2}$.

2) Для квадрата центром обох кіл є точка перетину його діагоналей $P$. Радіус описаного кола дорівнює половині діагоналі квадрата ($R=PE$), а радіус вписаного кола — половині сторони квадрата ($r=\frac{a}{2}$).