Завдання № 14.49. § 14. Формули для знаходження площі трикутника (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Чи існує опуклий многокутник, сума кутів якого дорівнює:

1) $1620^{\circ }$;

2) $2000^{\circ }$?

Покроковий розв’язок:

За теоремою про суму кутів опуклого $n$-кутника, сума всіх його внутрішніх кутів обчислюється за формулою:
$S_n=180^{\circ }\cdot (n-2)$
де $n$ — кількість сторін (вершин) многокутника, причому $n$ обов’язково має бути натуральним числом, більшим або рівним $3$ ($n\in \mathbb{N}$, $n\ge 3$).

1. Перевіримо першу умову ($S_n=1620^{\circ }$):

Складемо рівняння:
$180^{\circ }\cdot (n-2)=1620^{\circ }$

Поділимо обидві частини рівняння на $180^{\circ }$:
$n-2=\frac{1620^{\circ }}{180^{\circ }}$
$n-2=9$
$n=9+2$
$n=11$

Отримане число $n=11$ є натуральним ($11\in \mathbb{N}$ і $11\ge 3$). Отже, такий опуклий многокутник існує — це одинадцятикутник.

2. Перевіримо другу умову ($S_n=2000^{\circ }$):

Складемо рівняння:
$180^{\circ }\cdot (n-2)=2000^{\circ }$

Поділимо обидві частини рівняння на $180^{\circ }$:
$n-2=\frac{2000^{\circ }}{180^{\circ }}$
$n-2=\frac{100}{9}$
$n-2=11\frac{1}{9}$
$n=13\frac{1}{9}$

Отримане значення $n=13\frac{1}{9}$ не є цілим числом ($n\notin \mathbb{N}$). Кількість сторін многокутника не може бути дробовою. Отже, такого опуклого многокутника не існує.

Відповідь:

1) Так, існує (одинадцятикутник);

2) Ні, не існує.