Завдання № 14.46. § 14. Формули для знаходження площі трикутника (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дві сторони трикутника дорівнюють $\sqrt{3}\text{ см}$ і $5\text{ см}$. Знайдіть третю сторону трикутника, якщо вона дорівнює радіусу кола, описаного навколо трикутника. Скільки розв’язків має задача?

Покроковий розв’язок:

1. Використання теореми синусів для визначення протилежного кута

Нехай у трикутнику дві відомі сторони дорівнюють $a=\sqrt{3}\text{ см}$ та $b=5\text{ см}$, а невідома третя сторона $c$ дорівнює радіусу $R$ описаного навколо трикутника кола, тобто $c=R$. Нехай $\angle C$ — кут трикутника, протилежний стороні $c$.

За узагальненою теоремою синусів відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута дорівнює подвоєному радіусу описаного кола:
$\frac{c}{\sin C}=2R$

Оскільки за умовою $c=R$, підставимо це значення у рівність:
$\frac{R}{\sin C}=2R$

Звідси знайдемо значення $\sin C$:
$\sin C=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}$

Кут трикутника може набувати значень у межах $0^{\circ }<\angle C<180^{\circ }$. Рівняння $\sin C=\frac{1}{2}$ на цьому проміжку має два корені:
$\angle C=30^{\circ }\text{або}\angle C=180^{\circ }-30^{\circ }=150^{\circ }$

2. Обчислення третьої сторони за теоремою косинусів

За теоремою косинусів для сторони $c$:
$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos C$

Розглянемо обидва випадки окремо:

Випадок 1: $\angle C=30^{\circ }$ (кут гострий).
Оскільки $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, обчислимо сторону $c$:

Звідси:
$c=\sqrt{13}\text{ см}$

Перевіримо виконання нерівності трикутника:
$\sqrt{3}\approx 1,73\text{ см}$, $\sqrt{13}\approx 3,61\text{ см}$.
$\sqrt{3}+\sqrt{13}\approx 1,73+3,61=5,34>5$
Нерівність трикутника виконується, отже, такий трикутник існує.

Випадок 2: $\angle C=150^{\circ }$ (кут тупий).
Оскільки $\cos 150^{\circ }=-\cos (180^{\circ }-150^{\circ })=-\cos 30^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, обчислимо сторону $c$:

Звідси:
$c=\sqrt{43}\text{ см}$

Перевіримо виконання нерівності трикутника:
$\sqrt{43}\approx 6,56\text{ см}$.
$\sqrt{3}+5\approx 1,73+5=6,73>\sqrt{43}$
Нерівність трикутника виконується, тому такий тупокутний трикутник також існує.

Таким чином, задача має два геометрично можливих розв’язки.

Відповідь: $\sqrt{13}\text{ см}$ або $\sqrt{43}\text{ см}$; задача має $2$ розв’язки.