Завдання № 14.45. § 14. Формули для знаходження площі трикутника (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Одна зі сторін трикутника дорівнює $7\text{ см}$, дві інші утворюють кут $60^{\circ }$, а їхня різниця дорівнює $5\text{ см}$. Знайдіть периметр трикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Введення змінних та аналіз умови
Розглянемо трикутник $ABC$. Нехай кут між двома невідомими сторонами дорівнює $\angle A=60^{\circ }$. Тоді протилежна йому сторона $BC=7\text{ см}$.

Позначимо меншу з двох інших сторін через $x$:
$AB=x\text{ см}$ (де $x>0$).
Оскільки різниця цих сторін за умовою становить $5\text{ см}$, то більша сторона:
$AC=(x+5)\text{ см}$.

2. Складання рівняння за теоремою косинусів
За теоремою косинусів для сторони $BC$ трикутника $ABC$:
$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \angle A$

Підставимо значення сторін та кута:
$7^2=x^2+(x+5{)}^2-2\cdot x\cdot (x+5)\cdot \cos 60^{\circ }$

Враховуючи, що $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$, розкриємо дужки:
$49=x^2+x^2+10x+25-2\cdot x\cdot (x+5)\cdot \frac{1}{2}$
$49=2x^2+10x+25-x\cdot (x+5)$
$49=2x^2+10x+25-x^2-5x$
$49=x^2+5x+25$

Перенесемо всі доданки в один бік для утворення квадратного рівняння:
$x^2+5x+25-49=0$
$x^2+5x-24=0$

3. Розв’язування квадратного рівняння
Знайдемо корені рівняння за теоремою Вієта або через дискримінант:
$D=5^2-4\cdot 1\cdot (-24)=25+96=121=11^2$
$x_1=\frac{-5+11}{2}=\frac{6}{2}=3$
$x_2=\frac{-5-11}{2}=\frac{-16}{2}=-8$

Корінь $x_2=-8$ не підходить, оскільки довжина сторони геометричної фігури має бути додатною ($x>0$).

Отже, $x=3$.

4. Обчислення сторін та периметра трикутника
Знаходимо довжини невідомих сторін:

• $AB=3\text{ см}$;
• $AC=3+5=8\text{ см}$;
• $BC=7\text{ см}$ (за умовою).

Периметр трикутника дорівнює сумі довжин усіх його трьох сторін:
$P=AB+AC+BC=3+8+7=18\text{ см}$

Відповідь:
$18\text{ см}$