Завдання № 14.44. § 14. Формули для знаходження площі трикутника (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Розв’яжіть $△ABC$, якщо:

1) $AB=8\text{ см}$, $BC=7\text{ см}$, $\angle B=82^{\circ }$;

2) $AC=5\text{ см}$, $\angle A=32^{\circ }$, $\angle C=80^{\circ }$.

Покроковий розв’язок:

1. Розв’язування трикутника за двома сторонами та кутом між ними

Дано: $AB=8\text{ см}$, $BC=7\text{ см}$, $\angle B=82^{\circ }$.

Знайдемо третю сторону $AC$ за теоремою косинусів:
$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B$

Підставимо відомі значення ($\cos 82^{\circ }\approx 0,1392$):

Знайдемо кут $C$ за теоремою синусів:
$\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}⟹\sin C=\frac{AB\cdot \sin B}{AC}$

Оскільки $\sin 82^{\circ }\approx 0,9903$:
$\sin C\approx \frac{8\cdot 0,9903}{9,9}\approx \frac{7,9224}{9,9}\approx 0,8002$

Знаходимо градусну міру кута $C$:
$\angle C\approx 53^{\circ }$

Знайдемо кут $A$ за теоремою про суму кутів трикутника:
$\angle A=180^{\circ }-(\angle B+\angle C)=180^{\circ }-(82^{\circ }+53^{\circ })=180^{\circ }-135^{\circ }=45^{\circ }$

2. Розв’язування трикутника за стороною та двома прилеглими кутами

Дано: $AC=5\text{ см}$, $\angle A=32^{\circ }$, $\angle C=80^{\circ }$.

Знайдемо невідомий кут $B$ за теоремою про суму кутів трикутника:
$\angle B=180^{\circ }-(\angle A+\angle C)=180^{\circ }-(32^{\circ }+80^{\circ })=180^{\circ }-112^{\circ }=68^{\circ }$

Знайдемо сторони $BC$ і $AB$ за теоремою синусів:
$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}⟹\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$

Використаємо значення тригонометричних функцій кутів:

• $\sin 32^{\circ }\approx 0,5299$
• $\sin 68^{\circ }\approx 0,9272$
• $\sin 80^{\circ }\approx 0,9848$

Обчислимо сторону $BC$:
$BC=\frac{AC\cdot \sin A}{\sin B}\approx \frac{5\cdot 0,5299}{0,9272}=\frac{2,6495}{0,9272}\approx 2,9\text{ см}$

Обчислимо сторону $AB$:
$AB=\frac{AC\cdot \sin C}{\sin B}\approx \frac{5\cdot 0,9848}{0,9272}=\frac{4,924}{0,9272}\approx 5,3\text{ см}$

Відповідь:

1) $AC\approx 9,9\text{ см}$, $\angle C\approx 53^{\circ }$, $\angle A\approx 45^{\circ }$;

2) $\angle B=68^{\circ }$, $BC\approx 2,9\text{ см}$, $AB\approx 5,3\text{ см}$.