Завдання № 14.42. § 14. Формули для знаходження площі трикутника (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
На сторонах $O M$ та $O N$ кута $O$ відкладено відрізки $O L = 5 см$ , $L M = 3 см$ , $O P = 6 см$ і $P N = 2 см$ (мал. 14.10). Знайдіть відношення площі трикутника $O L P$ до площі чотирикутника $M N P L$ .

Креслення до завдання 14.42

Покроковий розв’язок:

1. Обчислення довжин сторін трикутника $O N M$
За аксіомою вимірювання відрізків знайдемо довжини сторін більшого трикутника $△ O N M$ :

Сторона $O M = O L + L M = 5 + 3 = 8 см$ ;
Сторона $O N = O P + P N = 6 + 2 = 8 см$ .

Позначимо градусну міру спільного кута при вершині $O$ як $∠ O = α$ .

2. Обчислення площ трикутників через синус кута
За теоремою про площу трикутника (площа дорівнює половині добутку двох сторін на синус кута між ними):

Для трикутника $△ O L P$ :
$S_{△ O L P} = \frac{1}{2} \cdot O L \cdot O P \cdot sin α = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \cdot sin α = 15 sin α$
Для трикутника $△ O N M$ :
$S_{△ O N M} = \frac{1}{2} \cdot O M \cdot O N \cdot sin α = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \cdot sin α = 32 sin α$

3. Знаходження площі чотирикутника $M N P L$
Площа чотирикутника $M N P L$ дорівнює різниці площ трикутників $△ O N M$ та $△ O L P$ :
$S_{M N P L} = S_{△ O N M} - S_{△ O L P} = 32 sin α - 15 sin α = 17 sin α$

4. Знаходження відношення площ
Знайдемо відношення площі трикутника $O L P$ до площі чотирикутника $M N P L$ :
$\frac{S _{△ O L P}}{S _{M N P L}} = \frac{15 sin α}{17 sin α} = \frac{15}{17}$

Відповідь: $\frac{15}{17}$

Завдання № 14.42. § 14. Формули для знаходження площі трикутника (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку