Завдання № 14.41. § 14. Формули для знаходження площі трикутника (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
На сторонах $O B$ та $O D$ кута $O$ відкладено відрізки $O A = 2 см$ , $A B = 4 см$ , $O C = 3 см$ і $C D = 5 см$ (мал. 14.9). Знайдіть відношення площі трикутника $O B D$ до площі чотирикутника $A B D C$ .

Креслення до завдання 14.41

Покроковий розв’язок:

1. Обчислення довжин сторін трикутника $O B D$

За основною властивістю довжини відрізка:
$O B = O A + A B = 2 + 4 = 6 см$ ;
$O D = O C + C D = 3 + 5 = 8 см$ .

2. Знаходження площ трикутників через спільний кут

Нехай $∠ D O B = α$ .

Використаємо формулу площі трикутника через дві сторони та синус кута між ними ( $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin α$ ):

Для трикутника $O B D$ :
$S_{△ O B D} = \frac{1}{2} \cdot O B \cdot O D \cdot sin α = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot sin α = 24 sin α$

Для трикутника $O A C$ :
$S_{△ O A C} = \frac{1}{2} \cdot O A \cdot O C \cdot sin α = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot sin α = 3 sin α$

3. Знаходження площі чотирикутника $A B D C$

Чотирикутник $A B D C$ утворюється відніманням площі трикутника $O A C$ від площі більшого трикутника $O B D$ :
$S_{A B D C} = S_{△ O B D} - S_{△ O A C} = 24 sin α - 3 sin α = 21 sin α$

4. Обчислення шуканого відношення

Знайдемо відношення площі трикутника $O B D$ до площі чотирикутника $A B D C$ :
$\frac{S _{△ O B D}}{S _{A B D C}} = \frac{24 sin α}{21 sin α} = \frac{24}{21} = \frac{8}{7}$

Відповідь: $\frac{8}{7}$ (або $8 : 7$ ).

Завдання № 14.41. § 14. Формули для знаходження площі трикутника (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку