Завдання № 14.40. § 14. Формули для знаходження площі трикутника (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:
Знайдіть площу трикутника, сторони якого дорівнюють $4 см$ , $11 см$ і $13 см$ .

Покроковий розв’язок:
Нехай у трикутнику $A B C$ сторони мають довжини: $A B = 4 см$ , $B C = 11 см$ , $A C = 13 см$ . Позначимо кут між сторонами $B C$ та $A C$ , протилежний стороні $A B$ , як $∠ C = α$ .

1. Знаходження косинуса кута трикутника
За теоремою косинусів для сторони $A B$ :
$A B^{2} = B C^{2} + A C^{2} - 2 \cdot B C \cdot A C \cdot cos α$

Виразимо $cos α$ :
$cos α = \frac{B C ^{2} + A C ^{2} - A B ^{2}}{2 \cdot B C \cdot A C}$

Підставимо значення сторін:

cos α = \frac{( 11 ) ^{2} + ( 13 ) ^{2} - 4 ^{2}}{2 \cdot 11 \cdot 13} = \frac{11 + 13 - 16}{2 \cdot 143} = \frac{8}{2 \cdot 143} = \frac{4}{143}

2. Знаходження синуса кута
Оскільки кут трикутника лежить у межах $0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}$ , синус кута завжди додатний. За основною тригонометричною тотожністю:

sin α = 1 - cos^{2} α = 1 - (\frac{4}{143})^{2} = 1 - \frac{16}{143} = \frac{127}{143} = \frac{127}{143}

3. Обчислення площі трикутника
За формулою площі трикутника через дві сторони та синус кута між ними:
$S = \frac{1}{2} \cdot B C \cdot A C \cdot sin α$

Підставимо отримані числові значення:

S = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 13 \cdot \frac{127}{143} = \frac{1}{2} \cdot 143 \cdot \frac{127}{143} = \frac{127}{2} см^{2}

Відповідь: $\frac{127}{2} см^{2}$ .

Завдання № 14.40. § 14. Формули для знаходження площі трикутника (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку