Завдання № 14.39. § 14. Формули для знаходження площі трикутника (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

Знайдіть площу трикутника, сторони якого дорівнюють $3 см$ , $5 см$ і $10 см$ .

Покроковий розв’язок:

Нехай у $△ A B C$ сторони мають довжини: $A B = 3 см$ , $B C = 5 см$ , $A C = 10 см$ .

1. Знаходження косинуса кута трикутника

Позначимо кут $∠ B C A$ , протилежний стороні $A B$ , як $∠ C$ (або $α$ ).

За теоремою косинусів:
$A B^{2} = A C^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A C \cdot B C \cdot cos α$

Звідси виразимо $cos α$ :
$cos α = \frac{A C ^{2} + B C ^{2} - A B ^{2}}{2 \cdot A C \cdot B C}$

Підставимо значення сторін:

cos α = \frac{( 10 ) ^{2} + ( 5 ) ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 10 \cdot 5} = \frac{10 + 5 - 9}{2 \cdot 50} = = \frac{6}{2 \cdot 25 \cdot 2} = \frac{6}{2 \cdot 5 2} = \frac{3}{5 2}

2. Знаходження синуса кута трикутника

Оскільки кут трикутника лежить у межах $0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}$ , його синус завжди набуває додатних значень ( $sin α > 0$ ).

За основною тригонометричною тотожністю:
$sin α = 1 - cos^{2} α$

Обчислимо значення:

sin α = 1 - (\frac{3}{5 2})^{2} = 1 - \frac{9}{25 \cdot 2} = = 1 - \frac{9}{50} = \frac{41}{50} = \frac{41}{5 2}

3. Обчислення площі трикутника

Площа трикутника дорівнює половині добутку двох його сторін на синус кута між ними:
$S = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B C \cdot sin α$

Підставимо отримані значення:

S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5 \cdot \frac{41}{5 2} = = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot \frac{41}{5 2} = = \frac{1}{2} \cdot 52 \cdot \frac{41}{5 2} = \frac{41}{2} см^{2}

Відповідь:
$\frac{41}{2} см^{2}$