Завдання № 14.38. § 14. Формули для знаходження площі трикутника (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У трикутнику $A B C$ сторона $A B = 10 см$ , сторона $A C = 6 см$ . У якому відношенні бісектриса кута $A$ ділить площу трикутника $A B C$ ?

Покроковий розв’язок:

Креслення до завдання 14.38

Нехай у трикутнику $A B C$ проведено бісектрису $A K$ , де точка $K$ належить стороні $B C$ . За означенням бісектриси вона ділить кут $A$ на два рівні кути:

∠ C A K = ∠ B A K = α

Бісектриса $A K$ розбиває трикутник $A B C$ на два менших трикутники: $△ A C K$ та $△ A B K$ .

1. Обчислення площ утворених трикутників

Скористаємося формулою для площі трикутника через дві сторони та синус кута між ними ( $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin γ$ ):

Для трикутника $A C K$ :

S_{△ A C K} = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot A K \cdot sin α = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot A K \cdot sin α = 3 \cdot A K \cdot sin α

Для трикутника $A B K$ :

S_{△ A B K} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A K \cdot sin α = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot A K \cdot sin α = 5 \cdot A K \cdot sin α

2. Знаходження відношення площ

Знайдемо відношення площі трикутника $A C K$ до площі трикутника $A B K$ :

\frac{S _{△ A C K}}{S _{△ A B K}} = \frac{3 \cdot A K \cdot sin α}{5 \cdot A K \cdot sin α} = \frac{3}{5}

Отже, бісектриса ділить площу трикутника $A B C$ у відношенні $3 : 5$ (рахуючи від сторони $A C$ до сторони $A B$ ) або $5 : 3$ (рахуючи від сторони $A B$ до сторони $A C$ ).

Відповідь:
$3 : 5$ (або $5 : 3$ ).

Завдання № 14.38. § 14. Формули для знаходження площі трикутника (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку