Завдання № 14.37. § 14. Формули для знаходження площі трикутника (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Розгляньте рівнобедрений трикутник з кутом $2\alpha$ при вершині та бічною стороною $a$. Знайдіть площу цього трикутника двома способами та доведіть формулу $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$.

Покроковий розв’язок:

Нехай задано рівнобедрений трикутник $△ABC$, у якого бічні сторони $AB=BC=a$, а кут при вершині $\angle B=2\alpha$.

1. Перший спосіб обчислення площі:
Обчислимо площу трикутника за двома сторонами та синусом кута між ними:
$S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \sin \angle B$
$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot a\cdot \sin 2\alpha =\frac{1}{2}{a}^2\sin 2\alpha$

2. Другий спосіб обчислення площі:
Проведемо висоту $BK\perp AC$.

За властивістю рівнобедреного трикутника, висота, проведена до основи, є також його медіаною та бісектрисою:

• оскільки $BK$ — бісектриса, то $\angle ABK=\angle CBK=\frac{\angle B}{2}=\frac{2\alpha }{2}=\alpha$;
• оскільки $BK$ — медіана, то $AK=KC$, а отже, прямокутні трикутники $△ABK$ та $△CBK$ є рівними за гіпотенузою і гострим кутом.

Розглянемо прямокутний трикутник $△ABK$ ($\angle AKB=90^{\circ }$):

• за означенням косинуса гострого кута:
  $BK=AB\cdot \cos \alpha =a\cos \alpha$
• за означенням синуса гострого кута:
  $AK=AB\cdot \sin \alpha =a\sin \alpha$

Площа всього трикутника $△ABC$ дорівнює сумі площ двох рівних прямокутних трикутників:
$S=2\cdot S_{△ABK}=2\cdot \left(\frac{1}{2}\cdot AK\cdot BK\right)=AK\cdot BK$
Підставимо вирази для відрізків $AK$ та $BK$:
$S=(a\sin \alpha )\cdot (a\cos \alpha )=a^2\sin \alpha \cos \alpha$

3. Доведення тригонометричної формули:
Оскільки обидва вирази визначають площу одного й того самого трикутника $△ABC$, прирівняємо їх:
$\frac{1}{2}{a}^2\sin 2\alpha =a^2\sin \alpha \cos \alpha$

Поділимо обидві частини рівності на додатний вираз $\frac{1}{2}{a}^2$ (тобто помножимо обидві частини на $\frac{2}{a^2}$):
$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$

Формулу доведено.

Відповідь:
Площу трикутника знайдено двома способами: $S=\frac{1}{2}{a}^2\sin 2\alpha$ та $S=a^2\sin \alpha \cos \alpha$. З їхньої рівності доведено, що $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$.