Завдання № 14.36. § 14. Формули для знаходження площі трикутника (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть площу трикутника, дві сторони якого дорівнюють $16 см$ і $30 см$ , а медіана, проведена до більшої із цих сторін, дорівнює $25 см$ .

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження третьої сторони трикутника

Нехай у $△ A B C$ задано дві сторони: $A B = 16 см$ і більша сторона $A C = 30 см$ . Відрізок $B K$ — медіана, проведена до сторони $A C$ , причому $B K = 25 см$ .

За теоремою про зв’язок між медіаною та сторонами трикутника (наслідок із теореми косинусів або властивості діагоналей паралелограма):
$m_{b} = \frac{1}{2} 2 \cdot A B^{2} + 2 \cdot B C^{2} - A C^{2}$

Помножимо обидві частини рівності на $2$ та піднесемо до квадрата:
$(2 \cdot B K)^{2} + A C^{2} = 2 \cdot (A B^{2} + B C^{2})$

Підставимо відомі значення:

(2 \cdot 25)^{2} + 3 0^{2} 5 0^{2} + 900 2500 + 900 3400 256 + B C^{2} 256 + B C^{2} B C^{2} B C^{2} = 2 \cdot (1 6^{2} + B C^{2}) = 2 \cdot (256 + B C^{2}) = 2 \cdot (256 + B C^{2}) = 2 \cdot (256 + B C^{2}) = \frac{3400}{2} = 1700 = 1700 - 256 = 1444

Оскільки довжина сторони є додатним числом:
$B C = 1444 = 38 см$

2. Обчислення площі трикутника за формулою Герона

Знаючи всі три сторони трикутника ( $a = 38 см$ , $b = 30 см$ , $c = 16 см$ ), обчислимо його півпериметр $p$ :
$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{38 + 30 + 16}{2} = \frac{84}{2} = 42 см$

Застосуємо формулу Герона $S = p (p - a) (p - b) (p - c)$ :

S = 42 \cdot (42 - 38) \cdot (42 - 30) \cdot (42 - 16) = 42 \cdot 4 \cdot 12 \cdot 26

Розкладемо множники на прості та зручні квадрати для винесення з-під знака кореня:

S = (6 \cdot 7) \cdot 4 \cdot (6 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 13) = 6^{2} \cdot 4 \cdot 2^{2} \cdot (7 \cdot 13) = 6 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 91 = 2491 см^{2}

Відповідь:
$2491 см^{2}$

Завдання № 14.36. § 14. Формули для знаходження площі трикутника (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку