Завдання № 14.35. § 14. Формули для знаходження площі трикутника (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть площу трикутника, дві сторони якого дорівнюють $14 см$ і $22 см$ , а медіана, проведена до третьої сторони, дорівнює $12 см$ .

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження невідомої сторони трикутника

Нехай у $△ A B C$ сторони дорівнюють $A B = 14 см$ , $A C = 22 см$ , а відрізок $A M = 12 см$ — медіана, проведена до сторони $B C$ (точка $M$ — середина сторони $B C$ ).

Зв’язок між медіаною та сторонами трикутника визначається теоремою про медіану:
$4 \cdot A M^{2} + B C^{2} = 2 \cdot (A B^{2} + A C^{2})$

Підставимо числові значення у формулу:

4 \cdot 1 2^{2} + B C^{2} = 2 \cdot (1 4^{2} + 2 2^{2}) 4 \cdot 144 + B C^{2} = 2 \cdot (196 + 484) 576 + B C^{2} = 2 \cdot 680 576 + B C^{2} = 1360 B C^{2} = 1360 - 576 B C^{2} = 784 B C = 784 = 28 см

2. Обчислення площі за формулою Герона

Знаючи довжини всіх трьох сторін трикутника ( $A B = 14 см$ , $A C = 22 см$ , $B C = 28 см$ ), знайдемо його півпериметр $p$ :
$p = \frac{A B + A C + B C}{2} = \frac{14 + 22 + 28}{2} = \frac{64}{2} = 32 см$

Застосуємо формулу Герона:
$S = p \cdot (p - A B) \cdot (p - A C) \cdot (p - B C)$

Обчислимо різниці півпериметра та сторін:

$p - A B = 32 - 14 = 18 см$
$p - A C = 32 - 22 = 10 см$
$p - B C = 32 - 28 = 4 см$

Підставимо отримані значення під знак кореня:

S = 32 \cdot 18 \cdot 10 \cdot 4 = (16 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 9) \cdot 10 \cdot 4 = 16 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 4 \cdot 10 = 16 \cdot 36 \cdot 4 \cdot 10 = 4 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 10 = 4810 см^{2}

Відповідь: $4810 см^{2}$ .

Завдання № 14.35. § 14. Формули для знаходження площі трикутника (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку