Завдання № 14.34. § 14. Формули для знаходження площі трикутника (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Радіус кола, описаного навколо трикутника, дорівнює $R$ , а два його кути — $α$ і $β$ . Знайдіть площу трикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження третього кута трикутника
Нехай у трикутнику $A B C$ кути при вершинах $A$ і $C$ дорівнюють відповідно $∠ A = α$ та $∠ C = β$ .
За теоремою про суму кутів трикутника:
$∠ B = 18 0^{\circ} - (α + β)$

2. Вираження сторін через радіус описаного кола
За розширеною теоремою синусів відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута дорівнює діаметру описаного кола ( $2 R$ ):
$\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin ∠ B} = \frac{c}{sin β} = 2 R$

Звідси виразимо довжини сторін $a$ (протилежної до кута $α$ ) та $c$ (протилежної до кута $β$ ):
$a = 2 R \cdot sin α$
$c = 2 R \cdot sin β$

3. Обчислення площі трикутника
Площа трикутника дорівнює половині добутку двох його сторін на синус кута між ними:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot sin ∠ B$

Підставимо отримані вирази для сторін $a$ , $c$ та кута $∠ B$ :
$S = \frac{1}{2} \cdot (2 R \cdot sin α) \cdot (2 R \cdot sin β) \cdot sin (18 0^{\circ} - (α + β))$

Спростимо числовий коефіцієнт та застосуємо формулу зведення $sin (18 0^{\circ} - x) = sin x$ :
$S = 2 R^{2} \cdot sin α \cdot sin β \cdot sin (α + β)$

Відповідь:
$2 R^{2} \cdot sin α \cdot sin β \cdot sin (α + β)$

Завдання № 14.34. § 14. Формули для знаходження площі трикутника (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку