Завдання № 14.32. § 14. Формули для знаходження площі трикутника (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Відрізки $MN$ і $KL$ перетинаються в точці $O$, причому $MO=ON$, $KO=5\text{ см}$, $LO=10\text{ см}$ (мал. 14.8). Знайдіть відношення площ трикутників $KON$ і $MOL$.

Покроковий розв’язок:

1. Аналіз кутів при перетині відрізків
Кути $\angle KON$ та $\angle MOL$ є вертикальними, утвореними при перетині прямих $MN$ та $KL$. За властивістю вертикальних кутів:
$\angle KON=\angle MOL$
Позначимо градусну міру цих кутів як $\alpha$, тобто $\angle KON=\angle MOL=\alpha$.

2. Застосування формули площі трикутника через синус кута
Площа трикутника дорівнює половині добутку двох його сторін на синус кута між ними:

• Для $△KON$ сторонами, що утворюють кут $\angle KON$, є $KO$ та $ON$:
  $S_{△KON}=\frac{1}{2}\cdot KO\cdot ON\cdot \sin \angle KON=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot ON\cdot \sin \alpha$

• Для $△MOL$ сторонами, що утворюють кут $\angle MOL$, є $LO$ та $OM$:
  $S_{△MOL}=\frac{1}{2}\cdot LO\cdot OM\cdot \sin \angle MOL=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot OM\cdot \sin \alpha$

3. Знаходження відношення площ
Складемо відношення площ трикутників $△KON$ і $△MOL$:
$\frac{S_{△KON}}{S_{△MOL}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot KO\cdot ON\cdot \sin \alpha }{\frac{1}{2}\cdot LO\cdot OM\cdot \sin \alpha }$

За умовою задачі відрізки $MO$ та $ON$ рівні ($MO=ON$). Скоротивши дріб на спільні множники $\frac{1}{2}$, $\sin \alpha$ та $ON$ (оскільки $ON=OM\ne 0$):
$\frac{S_{△KON}}{S_{△MOL}}=\frac{KO}{LO}$

Підставимо відомі числові значення довжин відрізків $KO=5\text{ см}$ та $LO=10\text{ см}$:
$\frac{S_{△KON}}{S_{△MOL}}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$

Отже, відношення площ трикутників $KON$ і $MOL$ дорівнює $\frac{1}{2}$ (або $1:2$).

Відповідь:
$\frac{1}{2}$ (або $1:2$)