Завдання № 14.31. § 14. Формули для знаходження площі трикутника (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Відрізки $AB$ і $CD$ перетинаються в точці $O$ (мал. 14.7), $AO=4\text{ см}$, $BO=6\text{ см}$, $CO=3\text{ см}$, $DO=2\text{ см}$. Знайдіть відношення площ трикутників $AOD$ і $COB$.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення зв’язку між кутами трикутників
Кути $\angle AOD$ та $\angle COB$ є вертикальними, оскільки утворені перетином прямих $AB$ і $CD$. За властивістю вертикальних кутів:
$\angle AOD=\angle COB$
Позначимо градусну міру цих кутів як $\alpha$:
$\angle AOD=\angle COB=\alpha$

2. Застосування формули площі трикутника
Площа довільного трикутника дорівнює половині добутку двох його сторін на синус кута між ними:
$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin \gamma$

Застосуємо цю формулу для трикутників $△AOD$ та $△COB$:

• Для $△AOD$:
  $S_{△AOD}=\frac{1}{2}\cdot AO\cdot DO\cdot \sin \alpha =\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2\cdot \sin \alpha =4\sin \alpha$

• Для $△COB$:
  $S_{△COB}=\frac{1}{2}\cdot CO\cdot BO\cdot \sin \alpha =\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 6\cdot \sin \alpha =9\sin \alpha$

3. Знаходження відношення площ
Складемо відношення площ цих трикутників:
$\frac{S_{△AOD}}{S_{△COB}}=\frac{4\sin \alpha }{9\sin \alpha }=\frac{4}{9}$

(Зауважимо також, що за другою ознакою подібності трикутників $△AOD\sim △BOC$, оскільки $\frac{AO}{BO}=\frac{DO}{CO}=\frac{2}{3}$ та $\angle AOD=\angle BOC$. Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності: $k^2={\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$).

Відповідь: $\frac{4}{9}$ (або $4:9$).