Завдання № 14.28. § 14. Формули для знаходження площі трикутника (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника зі сторонами $13\text{ см}$, $40\text{ см}$ і $51\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

Для обчислення радіуса $R$ кола, описаного навколо трикутника зі сторонами $a$, $b$ і $c$, скористаємося формулою:
$R=\frac{a\cdot b\cdot c}{4S}$
де $S$ — площа трикутника.

1. Обчислення площі трикутника за формулою Герона

Нехай сторони трикутника дорівнюють $a=13\text{ см}$, $b=40\text{ см}$, $c=51\text{ см}$.

Знайдемо півпериметр трикутника $p$:
$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{13+40+51}{2}=\frac{104}{2}=52\text{ см}$

Обчислимо різниці півпериметра та кожної зі сторін:
$p-a=52-13=39\text{ см}$
$p-b=52-40=12\text{ см}$
$p-c=52-51=1\text{ см}$

За формулою Герона $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$:
$S=\sqrt{52\cdot 39\cdot 12\cdot 1}$

Розкладемо числа під коренем на множники для зручності обчислення:
$52=13\cdot 4=13\cdot 2^2$
$39=13\cdot 3$
$12=4\cdot 3=2^2\cdot 3$

Підставимо розклади у формулу площі:
$S=\sqrt{(13\cdot 4)\cdot (13\cdot 3)\cdot (4\cdot 3)\cdot 1}=\sqrt{13^2\cdot 4^2\cdot 3^2}=13\cdot 4\cdot 3=156{\text{ см}}^2$

2. Знаходження радіуса описаного кола

Підставимо значення сторін і площі у формулу радіуса описаного кола:
$R=\frac{13\cdot 40\cdot 51}{4\cdot 156}$

Скоротимо дріб, розписавши знаменник через добуток знайдених множників площі $156=13\cdot 4\cdot 3$:
$R=\frac{13\cdot 40\cdot 51}{4\cdot 13\cdot 4\cdot 3}$

Скоротимо на $13$:
$R=\frac{40\cdot 51}{4\cdot 4\cdot 3}=\frac{40\cdot 51}{48}$

Скоротимо $40$ і $48$ на $8$, а також $51$ і $3$ на $3$:
$R=\frac{5\cdot 51}{6}=\frac{5\cdot 17}{2}=\frac{85}{2}=42,5\text{ см}$

Відповідь:
$42,5\text{ см}$.