Завдання № 14.26. § 14. Формули для знаходження площі трикутника (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Доведіть, що діагоналі паралелограма ділять його на чотири рівновеликих трикутники.

Покроковий розв’язок:

1. Властивості діагоналей паралелограма

Нехай дано паралелограм $ABCD$, у якому проведені діагоналі $AC$ і $BD$, що перетинаються в точці $O$.

За властивістю паралелограма, його діагоналі точкою перетину діляться навпіл:
$AO=OC=a,BO=OD=b$

2. Кути між діагоналями

Нехай гострий кут між діагоналями дорівнює $\alpha$, тобто $\angle COD=\alpha$.

• Кути $\angle AOB$ та $\angle COD$ є вертикальними, тому $\angle AOB=\angle COD=\alpha$.
• Кути $\angle BOC$ та $\angle COD$ є суміжними, тому їхня сума дорівнює $180^{\circ }$. Звідси:
  $\angle BOC=180^{\circ }-\alpha$
• Кути $\angle AOD$ та $\angle BOC$ є вертикальними, тому:
  $\angle AOD=\angle BOC=180^{\circ }-\alpha$

3. Обчислення площ чотирьох трикутників

Площа трикутника за двома сторонами та кутом між ними обчислюється за формулою:
$S=\frac{1}{2}\cdot x\cdot y\cdot \sin \gamma$

Знайдемо площу кожного з чотирьох трикутників:

1) Для $△AOB$:
$S_{△AOB}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB\cdot \sin \alpha =\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin \alpha$

2) Для $△BOC$ (використовуючи формулу зведення $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$):
$S_{△BOC}=\frac{1}{2}\cdot OB\cdot OC\cdot \sin (180^{\circ }-\alpha )=\frac{1}{2}\cdot b\cdot a\cdot \sin \alpha =\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin \alpha$

3) Для $△COD$:
$S_{△COD}=\frac{1}{2}\cdot OC\cdot OD\cdot \sin \alpha =\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin \alpha$

4) Для $△AOD$ (враховуючи $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$):
$S_{△AOD}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OD\cdot \sin (180^{\circ }-\alpha )=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin \alpha$

4. Висновок

Оскільки значення площ усіх чотирьох трикутників є однаковими:
$S_{△AOB}=S_{△BOC}=S_{△COD}=S_{△AOD}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin \alpha$
то за означенням рівновеликих фігур трикутники $△AOB$, $△BOC$, $△COD$ та $△AOD$ є рівновеликими.

Відповідь:
Доведено. Діагоналі паралелограма ділять його на чотири рівновеликих трикутники, оскільки $S_{△AOB}=S_{△BOC}=S_{△COD}=S_{△AOD}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin \alpha$.