Завдання № 14.25. § 14. Формули для знаходження площі трикутника (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює $30^{\circ }$, а його площа — $9{\text{ см}}^2$. Знайдіть сторони трикутника.

Покроковий розв’язок:

Нехай задано рівнобедрений трикутник $△ABC$, у якому бічні сторони рівні: $AB=BC$. Кут при вершині $\angle B=30^{\circ }$, а площа трикутника $S=9{\text{ см}}^2$.

1. Знаходження бічних сторін трикутника

Площу трикутника можна обчислити за формулою через дві сторони та синус кута між ними:
$S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \sin \angle B$

Оскільки трикутник рівнобедрений ($AB=BC$):
$S=\frac{1}{2}\cdot A{B}^2\cdot \sin 30^{\circ }$

Підставимо відомі числові значення ($S=9{\text{ см}}^2$, $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$):
$9=\frac{1}{2}\cdot A{B}^2\cdot \frac{1}{2}$
$9=\frac{A{B}^2}{4}$
$A{B}^2=9\cdot 4=36$
$AB=\sqrt{36}=6\text{ см}$

Отже, бічні сторони трикутника дорівнюють:
$AB=BC=6\text{ см}$

2. Знаходження основи трикутника

Для обчислення довжини основи $AC$ скористаємося теоремою косинусів для сторони $AC$ у трикутнику $△ABC$:
$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \angle B$

Підставимо знайдені довжини сторін та значення $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$:

Знайдемо довжину сторони $AC$:
$AC=\sqrt{36(2-\sqrt{3})}=6\sqrt{2-\sqrt{3}}\text{ см}$

(Зауважимо, що цей вираз також можна подати у вигляді $3(\sqrt{6}-\sqrt{2})\text{ см}$, оскільки $\sqrt{2-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$).

Відповідь:
$6\text{ см}$, $6\text{ см}$, $6\sqrt{2-\sqrt{3}}\text{ см}$ (або $3(\sqrt{6}-\sqrt{2})\text{ см}$).