Завдання № 14.24. § 14. Формули для знаходження площі трикутника (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює $150^{\circ }$, а його площа — $25{\text{ см}}^2$. Знайдіть сторони трикутника.

Покроковий розв’язок:

Нехай задано рівнобедрений трикутник $△ABC$, у якого бічні сторони рівні: $AB=BC=a$, а кут при вершині $\angle B=150^{\circ }$. Площа трикутника $S=25{\text{ см}}^2$.

1. Знаходження бічних сторін трикутника

Площу трикутника можна обчислити за формулою через дві сторони та синус кута між ними:
$S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \sin \angle B$

Оскільки $\sin 150^{\circ }=\sin (180^{\circ }-30^{\circ })=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, підставимо відомі значення у формулу:
$25=\frac{1}{2}\cdot a\cdot a\cdot \sin 150^{\circ }$
$25=\frac{1}{2}\cdot a^2\cdot \frac{1}{2}$
$25=\frac{a^2}{4}$
$a^2=25\cdot 4=100$

Оскільки довжина сторони є додатною величиною:
$a=\sqrt{100}=10\text{ см}$

Отже, бічні сторони трикутника дорівнюють:
$AB=BC=10\text{ см}$

2. Знаходження основи трикутника

Для знаходження третьої сторони $AC$ застосуємо теорему косинусів для трикутника $△ABC$:
$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \angle B$

Знайдемо косинус кута $150^{\circ }$:
$\cos 150^{\circ }=\cos (180^{\circ }-30^{\circ })=-\cos 30^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Підставимо значення довжин сторін та косинуса у формулу:
$A{C}^2=10^2+10^2-2\cdot 10\cdot 10\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$A{C}^2=100+100+200\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$A{C}^2=200+100\sqrt{3}=100(2+\sqrt{3})$

Звідси довжина основи $AC$:
$AC=\sqrt{100(2+\sqrt{3})}=10\sqrt{2+\sqrt{3}}\text{ см}$

(Примітка: вираз можна також подати у формі без вкладеного кореня, оскільки $2+\sqrt{3}=\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2}{)}^2}{4}$, звідки $AC=5(\sqrt{6}+\sqrt{2})\text{ см}$).

Відповідь:
$10\text{ см}$, $10\text{ см}$, $10\sqrt{2+\sqrt{3}}\text{ см}$ (або $5(\sqrt{6}+\sqrt{2})\text{ см}$).