Завдання № 14.23. § 14. Формули для знаходження площі трикутника (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:
Висота ромба дорівнює $8 см$ , а гострий кут — $6 0^{\circ}$ . Знайдіть площу ромба.

Покроковий розв’язок:

Нехай дано ромб $A B C D$ , у якого $∠ A = 6 0^{\circ}$ , а відрізок $B K$ — висота, проведена до сторони $A D$ ( $B K ⊥ A D$ ), причому $B K = 8 см$ .

1. Знаходження сторони ромба

Розглянемо прямокутний трикутник $A B K$ ( $∠ A K B = 9 0^{\circ}$ ).
За означенням синуса гострого кута прямокутного трикутника:

sin ∠ A = \frac{B K}{A B}

Звідси сторона ромба $A B$ дорівнює:

A B = \frac{B K}{sin ∠ A} = \frac{8}{sin 6 0 ^{\circ}} = \frac{8}{\frac{3}{2}} = \frac{8 \cdot 2}{3} = \frac{16}{3} см

2. Обчислення площі ромба

Спосіб 1 (через сторону та висоту):
Оскільки всі сторони ромба рівні, $A D = A B = \frac{16}{3} см$ .
Площа ромба обчислюється як добуток сторони на проведену до неї висоту:

S = A D \cdot B K = \frac{16}{3} \cdot 8 = \frac{128}{3} см^{2}

Позбудемося ірраціональності в знаменнику дробу:

S = \frac{128 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{128 3}{3} см^{2}

Спосіб 2 (через сторони та кут між ними):
Площу ромба можна також знайти за формулою добутку двох суміжних сторін на синус кута між ними:

S = A B^{2} \cdot sin ∠ A = (\frac{16}{3})^{2} \cdot sin 6 0^{\circ} = \frac{256}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{128 3}{3} см^{2}

Відповідь:
$\frac{128 3}{3} см^{2}$

Завдання № 14.23. § 14. Формули для знаходження площі трикутника (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку