Завдання № 14.22. § 14. Формули для знаходження площі трикутника (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

Висоти паралелограма дорівнюють $6 см$ і $8 см$ , а кут між сторонами дорівнює $3 0^{\circ}$ . Знайдіть площу паралелограма.

Покроковий розв’язок:

Нехай дано паралелограм $A B C D$ , у якому $∠ A = 3 0^{\circ}$ . З вершини тупого кута $B$ проведено дві висоти:

1) $B K ⊥ A D$ , довжина якої $B K = 6 см$ ;

2) $B M ⊥ C D$ (де точка $M$ лежить на продовженні сторони $C D$ ), довжина якої $B M = 8 см$ .

1. Знаходження сторони $A B$

Розглянемо прямокутний трикутник $△ A B K$ ( $∠ A K B = 9 0^{\circ}$ ).

За означенням синуса гострого кута прямокутного трикутника:

sin ∠ A = \frac{B K}{A B}

Звідси знайдемо гіпотенузу $A B$ :

A B = \frac{B K}{sin ∠ A} = \frac{6}{sin 3 0 ^{\circ}} = \frac{6}{\frac{1}{2}} = 6 \cdot 2 = 12 см

2. Знаходження сторони $B C$

За властивістю протилежних кутів паралелограма:

∠ C = ∠ A = 3 0^{\circ}

Оскільки пряма $C D$ паралельна прямій $A B$ , висота $B M$ , проведена до прямої $C D$ , утворює прямокутний трикутник $△ B C M$ ( $∠ B M C = 9 0^{\circ}$ ).

У прямокутному трикутнику $△ B C M$ катет $B M$ лежить навпроти кута $∠ C = 3 0^{\circ}$ :

sin ∠ C = \frac{B M}{B C}

Звідси знайдемо гіпотенузу $B C$ :

B C = \frac{B M}{sin ∠ C} = \frac{8}{sin 3 0 ^{\circ}} = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 8 \cdot 2 = 16 см

За властивістю протилежних сторін паралелограма:

A D = B C = 16 см

3. Обчислення площі паралелограма

Площу паралелограма можна знайти як добуток сторони на висоту, проведену до цієї сторони:

S = A D \cdot B K = 16 \cdot 6 = 96 см^{2}

(Також площу можна перевірити через добуток суміжних сторін і синуса кута між ними: $S = A B \cdot A D \cdot sin ∠ A = 12 \cdot 16 \cdot sin 3 0^{\circ} = 192 \cdot \frac{1}{2} = 96 см^{2}$ ).

Відповідь: $96 см^{2}$ .

Завдання № 14.22. § 14. Формули для знаходження площі трикутника (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку