Завдання № 14.21. § 14. Формули для знаходження площі трикутника (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Знайдіть найбільшу висоту трикутника, сторони якого дорівнюють $5\text{ см}$, $29\text{ см}$ і $30\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

1. Теоретичне обґрунтування

Площу трикутника можна обчислити за формулою:
$S=\frac{1}{2}a\cdot h_a$

Звідси висота, проведена до сторони $a$, дорівнює:
$h_a=\frac{2S}{a}$

Оскільки площа трикутника $S$ є незмінною величиною, значення висоти буде найбільшим тоді, коли сторона, до якої вона проведена, є найменшою.

За умовою сторони трикутника дорівнюють $a=5\text{ см}$, $b=29\text{ см}$, $c=30\text{ см}$. Найменшою є сторона $a=5\text{ см}$, тому шуканою є саме висота $h_a$.

(Зауважимо: оскільки $30^2>29^2+5^2$, тобто $900>866$, трикутник є тупокутним, а висота, проведена до найменшої сторони, лежить поза межами трикутника на її продовженні).

2. Обчислення площі трикутника за формулою Герона

Знайдемо півпериметр трикутника $p$:
$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{5+29+30}{2}=\frac{64}{2}=32\text{ см}$

За формулою Герона:
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Підставимо числові дані:
$S=\sqrt{32\cdot (32-5)\cdot (32-29)\cdot (32-30)}=\sqrt{32\cdot 27\cdot 3\cdot 2}$

Згрупуємо множники під коренем для зручного обчислення:
$S=\sqrt{(32\cdot 2)\cdot (27\cdot 3)}=\sqrt{64\cdot 81}=\sqrt{64}\cdot \sqrt{81}=8\cdot 9=72{\text{ см}}^2$

3. Знаходження найбільшої висоти

Обчислимо висоту $h_a$, проведену до сторони $a=5\text{ см}$:
$h_a=\frac{2S}{a}=\frac{2\cdot 72}{5}=\frac{144}{5}=28,8\text{ см}$

Відповідь:
$28,8\text{ см}$.