Завдання № 14.20. § 14. Формули для знаходження площі трикутника (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:
Знайдіть найменшу висоту трикутника, сторони якого дорівнюють $13 см$ , $14 см$ і $15 см$ .

Покроковий розв’язок:

1. Визначення сторони, до якої проведено найменшу висоту

Площа трикутника через сторону та проведену до неї висоту визначається формулою:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{a} ⟹ h_{a} = \frac{2 S}{a}$

Оскільки площа трикутника $S$ є величиною сталою, висота $h$ обернено пропорційна стороні, до якої вона проведена. Отже, найменша висота завжди проведена до найбільшої сторони трикутника:
$a = 15 см$

2. Обчислення площі трикутника за формулою Герона

Нехай довжини сторін трикутника дорівнюють $a = 15 см$ , $b = 14 см$ , $c = 13 см$ .

Обчислимо півпериметр трикутника $p$ :
$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{15 + 14 + 13}{2} = \frac{42}{2} = 21 см$

Застосуємо формулу Герона:
$S = p (p - a) (p - b) (p - c)$

Підставимо числові значення:

S = 21 \cdot (21 - 15) \cdot (21 - 14) \cdot (21 - 13) = = 21 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8

Розкладемо підкореневий вираз на зручні множники:

S = (7 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 2) \cdot 7 \cdot 8 = = 7^{2} \cdot 3^{2} \cdot 16 = = 7 \cdot 3 \cdot 4 = 84 см^{2}

3. Знаходження найменшої висоти

Знайдемо висоту $h_{a}$ , проведену до сторони $a = 15 см$ :
$h_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 84}{15} = \frac{168}{15} = \frac{56}{5} = 11, 2 см$

Відповідь: $11, 2 см$ .

Завдання № 14.20. § 14. Формули для знаходження площі трикутника (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку