Завдання № 14.19. § 14. Формули для знаходження площі трикутника (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дві сторони гострокутного трикутника дорівнюють $8\text{ см}$ і $10\text{ см}$. Обчисліть кут між цими сторонами, якщо площа трикутника дорівнює $20\sqrt{2}{\text{ см}}^2$.

Покроковий розв’язок:

1. Вибір формули площі трикутника
Площа довільного трикутника дорівнює половині добутку двох його сторін на синус кута між ними:
$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin \alpha$
де $a$ і $b$ — довжини відомих сторін, а $\alpha$ — кут між ними.

2. Обчислення синуса кута
За умовою задачі $a=8\text{ см}$, $b=10\text{ см}$, а площа $S=20\sqrt{2}{\text{ см}}^2$. Підставимо ці дані у формулу:
$20\sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 10\cdot \sin \alpha$
$20\sqrt{2}=40\cdot \sin \alpha$

Звідси знайдемо значення $\sin \alpha$:
$\sin \alpha =\frac{20\sqrt{2}}{40}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

3. Визначення величини кута
Рівняння $\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$ для кута трикутника ($0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$) має два розв’язки:
$\alpha =45^{\circ }\text{або}\alpha =180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ }$

Оскільки за умовою задачі трикутник є гострокутним, усі його внутрішні кути мають бути меншими від $90^{\circ }$. Кут $135^{\circ }$ є тупим, тому він не задовольняє умову.

Отже, кут між заданими сторонами дорівнює $45^{\circ }$.

Відповідь:
$45^{\circ }$