Завдання № 14.18. § 14. Формули для знаходження площі трикутника (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дві сторони гострокутного трикутника дорівнюють $7\text{ см}$ і $16\text{ см}$, а його площа дорівнює $28{\text{ см}}^2$. Знайдіть величину кута між цими сторонами.

Покроковий розв’язок:

1. Вибір формули для обчислення площі трикутника
Площа трикутника за двома сторонами та кутом між ними визначається формулою:
$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin \alpha$
де $a$ і $b$ — сторони трикутника, а $\alpha$ — кут між ними.

2. Обчислення синуса кута
Підставимо відомі з умови числові дані ($a=7\text{ см}$, $b=16\text{ см}$, $S=28{\text{ см}}^2$):
$28=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 16\cdot \sin \alpha$
$28=56\cdot \sin \alpha$

Звідси виразимо $\sin \alpha$:
$\sin \alpha =\frac{28}{56}=\frac{1}{2}$

3. Визначення шуканого кута
Рівняння $\sin \alpha =\frac{1}{2}$ для внутрішніх кутів трикутника ($0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$) має два розв’язки:
$\alpha =30^{\circ }\text{або}\alpha =180^{\circ }-30^{\circ }=150^{\circ }$

За умовою задачі трикутник є гострокутним, тобто всі його внутрішні кути мають бути меншими від $90^{\circ }$. Кут $150^{\circ }$ є тупим, тому він не задовольняє умову.

Отже, кут між заданими сторонами дорівнює $30^{\circ }$.

Відповідь:
$30^{\circ }$