Завдання № 13. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Скільки точок, обидві координати яких — цілі числа, належить колу $x^2+y^2=10$?

Покроковий розв’язок:

1. Аналіз умови задачі
Рівняння $x^2+y^2=10$ задає коло з центром у початку координат $(0;0)$ і радіусом $R=\sqrt{10}$.
Нам потрібно знайти кількість пар цілих чисел $(x;y)$, які задовольняють це рівняння.

2. Аналіз можливих значень квадратів цілих чисел
Оскільки координати $x$ та $y$ є цілими числами ($x\in \mathbb{Z}$, $y\in \mathbb{Z}$), то їхні квадрати $x^2$ та $y^2$ можуть бути лише невід’ємними точними квадратами:
$0,1,4,9,16,25,\dots$

Оскільки $x^2\ge 0$ та $y^2\ge 0$, то кожен із доданків не може перевищувати значення всієї суми:
$x^2\le 10\text{і}{y}^2\le 10$

Таким чином, для $x^2$ та $y^2$ можливі лише такі значення: $0,1,4,9$.

3. Пошук можливих комбінацій квадратів
Перевіримо всі можливі суми двох чисел із множини $\{0,1,4,9\}$:

• $0+10=10$ — число $10$ не є точним квадратом цілого числа;
• $1+9=10$ — обидва доданки є точними квадратами ($1=1^2$, $9=3^2$);
• $4+6=10$ — число $6$ не є точним квадратом цілого числа.

Отже, рівність виконується виключно тоді, коли один із квадратів дорівнює $1$, а інший — $9$.

4. Знаходження шуканих точок

Розглянемо два випадки:

• Випадок 1: $x^2=1$ та $y^2=9$.
  Звідси:
  $x=\pm 1,y=\pm 3$
  Отримуємо $4$ точки:
  $(1;3),(1;-3),(-1;3),(-1;-3)$

• Випадок 2: $x^2=9$ та $y^2=1$.
  Звідси:
  $x=\pm 3,y=\pm 1$
  Отримуємо ще $4$ точки:
  $(3;1),(3;-1),(-3;1),(-3;-1)$

Загальна кількість точок із цілими координатами становить:
$4+4=8$

Відповідь:
$8$ точок.