Завдання № 13. Вправи для повторення розділу 6 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Площина $\alpha$ паралельна прямій $a$, пряма $b$ також паралельна площині $\alpha$. Яким може бути взаємне розміщення прямих $a$ і $b$?

Покроковий розв’язок:
У просторі дві довільні прямі можуть:

1) Перетинатися (мати одну спільну точку та лежати в одній площині).

2) Бути паралельними (лежати в одній площині й не перетинатися, або збігатися).

3) Бути мимобіжними (не лежати в одній площині та не перетинатися).

З’ясуємо, чи можливий кожен із цих випадків за умови, що $a\parallel \alpha$ та $b\parallel \alpha$:

1. Прямі $a$ і $b$ перетинаються
Розглянемо площину $\beta$, яка паралельна площині $\alpha$ ($\beta \parallel \alpha$). Якщо провести в площині $\beta$ дві прямі $a$ і $b$, що перетинаються в точці $M$, то за ознакою паралельності прямої та площини обидві прямі не мають спільних точок із площиною $\alpha$, отже, $a\parallel \alpha$ та $b\parallel \alpha$. У цьому випадку прямі $a$ і $b$ мають спільну точку $M$.

2. Прямі $a$ і $b$ паралельні
У тій самій площині $\beta$ ($\beta \parallel \alpha$) можна провести дві паралельні прямі $a$ і $b$ ($a\parallel b$). Обидві вони паралельні площині $\alpha$.
Також прямі $a$ і $b$ можуть належати двом різним площинам, паралельним $\alpha$, і бути паралельними між собою.

3. Прямі $a$ і $b$ мимобіжні
Візьмемо прямокутний паралелепіпед $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$, де площина нижньої основи — це площина $\alpha$ (площина $ABC$).

• Пряма $a$, яка містить ребро $A_1{B}_1$, паралельна площині $\alpha$.
• Пряма $b$, яка містить ребро $B_1{C}_1$ або бічне ребро $C{C}_1$, також паралельна або перпендикулярна до інших площин. Якщо взяти пряму $b$, що містить відрізок $B_{1}C$, то вона не паралельна $\alpha$, але якщо взяти пряму $b$, що містить діагональ бічної грані, не завжди.
  Простіший приклад:
  Нехай $\alpha$ — площина підлоги.
  Пряма $a$ лежить у площині стелі й спрямована з півночі на південь ($a\parallel \alpha$).
  Пряма $b$ лежить на висоті $1\text{ м}$ від підлоги та спрямована із заходу на схід ($b\parallel \alpha$).
  Ці прямі лежать у паралельних горизонтальних площинах, але мають різні напрямки, тому вони не перетинаються і не є паралельними, тобто є мимобіжними.

Отже, прямі $a$ і $b$ можуть перетинатися, бути паралельними або бути мимобіжними (або збігатися).

Відповідь:
Прямі $a$ і $b$ можуть перетинатися, бути паралельними (або збігатися) або бути мимобіжними.