Завдання № 13. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Чи може пряма при симетрії відносно точки перейти сама в себе?

Покроковий розв’язок:

1. Означення центральної симетрії
Точки $A$ і $A^{\prime }$ називаються симетричними відносно точки $O$ (центра симетрії), якщо точка $O$ є серединою відрізка $A{A}^{\prime }$. Сама точка $O$ вважається симетричною самій собі.

2. Аналіз розміщення центра симетрії відносно прямої
Розглянемо пряму $l$ та центр симетрії — точку $O$:

• Якщо точка $O$ не належить прямій $l$ ($O\notin l$), то внаслідок симетрії пряма $l$ відображається на паралельну їй пряму $l^{\prime }$ ($l\parallel l^{\prime }$). У цьому випадку пряма не переходить сама в себе.
• Якщо точка $O$ належить прямій $l$ ($O\in l$), то для будь-якої точки $A$, яка лежить на прямій $l$, симетрична їй точка $A^{\prime }$ також лежатиме на прямій $l$, оскільки відрізок $A{A}^{\prime }$ повністю міститься на прямій $l$, а точка $O$ є його серединою ($AO=O{A}^{\prime }$).

Оскільки кожна точка прямої $l$ переходить у точку тієї самої прямої $l$, то вся пряма переходить сама в себе.

Відповідь:
Так, може, якщо точка симетрії (центр симетрії) належить цій прямій.