Завдання № 13. Вправи для повторення розділу 4 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Опишіть навколо даного кола правильний:

1) трикутник;

2) шестикутник.

Покроковий розв’язок:

Нехай дано коло із центром $O$ та радіусом $r$.

1. Побудова правильного трикутника, описаного навколо даного кола:

У правильному трикутнику радіус описаного кола $R$ удвічі більший за радіус вписаного кола $r$, тобто $R=2r$. Центри обох кіл збігаються.

План побудови:

1) Проведемо довільний радіус $OA$ даного кола ($OA=r$).

2) Через точку $A$ проведемо пряму, перпендикулярну до радіуса $OA$. За властивістю дотичної ця пряма є дотичною до кола.

3) Побудуємо допоміжне коло із центром $O$ та радіусом $R=2\cdot OA$. Це коло перетне проведену дотичну у двох точках — $B$ і $C$. Відрізок $BC$ є стороною шуканого трикутника.

4) Продовжимо промінь $AO$ за точку $O$ до перетину з допоміжним колом у точці $D$ ($OD=R=2r$).

5) Сполучимо точку $D$ із точками $B$ і $C$. Отримуємо трикутник $△BCD$.

Обґрунтування:

• У прямокутному трикутнику $△OAB$ ($\angle OAB=90^{\circ }$) катет $OA=r$, а гіпотенуза $OB=2r$. Оскільки катет удвічі менший за гіпотенузу, кут проти цього катета дорівнює $\angle ABO=30^{\circ }$, а гострий кут при центрі $\angle AOB=60^{\circ }$.
• Аналогічно з $△OAC$: $\angle ACO=30^{\circ }$, $\angle AOC=60^{\circ }$.
• Промінь $OB$ є бісектрисою кута $\angle B$, отже $\angle B=2\cdot 30^{\circ }=60^{\circ }$. Так само $\angle C=2\cdot 30^{\circ }=60^{\circ }$.
• У трикутнику $△BOD$ сторони $OB=OD=2r$, тому він рівнобедрений. Центральний кут $\angle BOD=180^{\circ }-\angle AOB=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$. Тоді кути при основі $\angle OBD=\angle ODB=\frac{180^{\circ }-120^{\circ }}{2}=30^{\circ }$.
• Аналогічно в $△COD$: $\angle OCD=\angle ODC=30^{\circ }$.
• Кут $\angle D=\angle ODB+\angle ODC=30^{\circ }+30^{\circ }=60^{\circ }$.
• У трикутнику $△BCD$ усі кути дорівнюють по $60^{\circ }$ ($\angle B=\angle C=\angle D=60^{\circ }$), отже, $△BCD$ — правильний трикутник. Відстань від центра $O$ до кожної зі сторін дорівнює $r$, тому дане коло є вписаним у $△BCD$.

2. Побудова правильного шестикутника, описаного навколо даного кола:

План побудови:

1) Використаємо вже побудований правильний трикутник $△BCD$. Проведемо промені $OB$, $OC$ та $OD$, які є бісектрисами його кутів.

2) Промінь $OB$ перетинає дане коло в точці $F$ ($OF=r$).

3) Через точку $F$ проведемо пряму $KM$, перпендикулярну до радіуса $OF$ ($KM\perp OF$). Ця пряма перетне сторону $BC$ у точці $K$, а сторону $BD$ — у точці $M$.

4) Пряма $KM$ є дотичною до кола в точці $F$ і відтинає від вершини $B$ рівносторонній трикутник $△BKM$.

5) Аналогічно побудуємо дотичні через точки перетину кола з променями $OC$ та $OD$.

6) Побудовані три дотичні разом із частинами сторін вихідного трикутника утворюють шестикутник.

Обґрунтування:

• Точки дотику сторін трикутника $△BCD$ ділять коло на три дуги по $120^{\circ }$.
• Точки перетину кола з бісектрисами $OB$, $OC$, $OD$ лежать точно посередині між точками дотику, оскільки кути між радіусами до точок дотику та променями до вершин дорівнюють по $60^{\circ }$.
• Таким чином, 6 точок дотику ділять коло на 6 рівних дуг по $\frac{360^{\circ }}{6}=60^{\circ }$.
• Дотичні, проведені в цих 6 точках, симетричні відносно центра $O$, утворюють рівні сторони та рівні внутрішні кути по $120^{\circ }$.
• Отже, отриманий многокутник є правильним шестикутником, описаним навколо даного кола.

Відповідь:

1) Правильний трикутник будується проведенням дотичної до кола через кінець радіуса $OA$ та відкладанням на ній вершин $B$ і $C$ за допомогою кола радіуса $R=2\cdot OA$, а третьої вершини $D$ — на продовженні діаметра.

2) Правильний шестикутник утворюється проведенням дотичних до кола в 6 точках, які ділять це коло на дуги по $60^{\circ }$ (зокрема, через точки перетину кола з радіусами до вершин побудованого правильного трикутника).