Завдання № 13. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Одна зі сторін трикутника дорівнює $7\text{ см}$ і лежить проти кута $60^{\circ }$. Знайдіть дві інші сторони трикутника, якщо одна з його середніх ліній дорівнює $3\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення другої сторони за властивістю середньої лінії
Середня лінія трикутника, яка сполучає середини двох його сторін, паралельна до третьої сторони й дорівнює її половині.

Отже, сторона трикутника, до якої паралельна середня лінія довжиною $3\text{ см}$, дорівнює:
$2\cdot 3=6\text{ см}$

Оскільки сторона завдовжки $7\text{ см}$ лежить навпроти даного кута $60^{\circ }$, то знайдена сторона $6\text{ см}$ є однією зі сторін, що утворюють цей кут.

2. Застосування теореми косинусів для знаходження третьої сторони
Нехай довжина третьої сторони трикутника дорівнює $x\text{ см}$, де $x>0$.

За теоремою косинусів для сторони, що лежить навпроти кута $60^{\circ }$:
$7^2=6^2+x^2-2\cdot 6\cdot x\cdot \cos 60^{\circ }$

Враховуючи, що $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$, підставимо це значення:
$49=36+x^2-2\cdot 6\cdot x\cdot \frac{1}{2}$
$49=36+x^2-6x$

Зведемо рівняння до стандартного квадратного вигляду:
$x^2-6x+36-49=0$
$x^2-6x-13=0$

3. Розв’язання квадратного рівняння
Обчислимо дискримінант квадратного рівняння:
$D=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot (-13)=36+52=88$

Спростимо корінь із дискримінанта:
$\sqrt{D}=\sqrt{88}=\sqrt{4\cdot 22}=2\sqrt{22}$

Знайдемо корені рівняння:
$x_{1,2}=\frac{-(-6)\pm 2\sqrt{22}}{2\cdot 1}=\frac{6\pm 2\sqrt{22}}{2}=3\pm \sqrt{22}$

Оскільки довжина сторони трикутника може бути тільки додатним числом ($x>0$), а $\sqrt{22}>\sqrt{9}=3$, значення $3-\sqrt{22}<0$ і не задовольняє геометричний зміст задачі.

Отже, довжина третьої сторони дорівнює:
$x=3+\sqrt{22}\text{ см}$

Відповідь:
$6\text{ см}$ і $(3+\sqrt{22})\text{ см}$.