Завдання № 13. Домашня самостійна робота 4 (§§ 15–17) (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Установіть відповідність між характеристикою геометричного об’єкта (1–3) та її числовим значенням (А–Г).

Характеристика геометричного об’єкта:

1) Довжина кола, описаного навколо правильного шестикутника зі стороною $6$.

2) Довжина меншої дуги кола, описаного навколо правильного трикутника зі стороною $9\sqrt{3}$, кінцями якої є вершини трикутника.

3) Площа круга, описаного навколо квадрата зі стороною $4\sqrt{2}$.

Числове значення:
А. $6\pi$
Б. $12\pi$
В. $16\pi$
Г. $24\pi$

Покроковий розв’язок:

1. Довжина кола, описаного навколо правильного шестикутника
Сторона правильного шестикутника $a_6$ дорівнює радіусу описаного навколо нього кола $R$:
$R=a_6=6$

Довжину кола обчислюємо за формулою $C=2\pi R$:
$C=2\pi \cdot 6=12\pi$

Отже, твердженню 1 відповідає варіант Б.

2. Довжина дуги кола, описаного навколо правильного трикутника
Для правильного трикутника зв’язок між стороною $a_3$ і радіусом описаного кола $R$ задається формулою $a_3=R\sqrt{3}$. Звідси:
$R=\frac{a_3}{\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=9$

Вершини правильного трикутника ділять описане коло на три рівні дуги. Градусна міра центрального кута, що спирається на сторону правильного трикутника:
$\alpha =\frac{360^{\circ }}{3}=120^{\circ }$

Обчислимо довжину меншої дуги $l$ за формулою довжини дуги кола:
$l=\frac{\pi R\alpha }{180^{\circ }}=\frac{\pi \cdot 9\cdot 120^{\circ }}{180^{\circ }}=\frac{\pi \cdot 9\cdot 2}{3}=6\pi$

Отже, твердженню 2 відповідає варіант А.

3. Площа круга, описаного навколо квадрата
Діагональ квадрата зі стороною $a_4$ дорівнює $d=a_4\sqrt{2}$. Вона є діаметром описаного кола:
$d=4\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=4\cdot 2=8$

Радіус описаного навколо квадрата кола дорівнює половині діагоналі:
$R=\frac{d}{2}=\frac{8}{2}=4$

Площу описаного круга знаходимо за формулою $S=\pi R^2$:
$S=\pi \cdot 4^2=16\pi$

Отже, твердженню 3 відповідає варіант В.

Відповідь:
1 — Б, 2 — А, 3 — В.