Завдання № 13. Домашня самостійна робота 1 (§§1–5) (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
На площині задано вершини трикутника $ABC$ — точки $A(-2;3)$, $B(6;-3)$, $C(0;-15)$. Установіть відповідність між відрізками (1–3) та їхніми довжинами (А–Г).

Відрізок:

1) Сторона трикутника $AB$

2) Медіана $AM$

3) Середня лінія $MN$, де $N$ — середина сторони $AB$

Довжина:
А. $5$
Б. $10$
В. $13$
Г. $\sqrt{82}$

Покроковий розв’язок:

Для розв’язання задачі скористаємося формулами координатної геометрії на площині:

• Відстань між точками $P_1(x_1;y_1)$ та $P_2(x_2;y_2)$ обчислюється за формулою:
  $d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$
• Координати середини відрізка з кінцями у точках $P_1(x_1;y_1)$ та $P_2(x_2;y_2)$ знаходять як середнє арифметичне відповідних координат:
  $x=\frac{x_1+x_2}{2},y=\frac{y_1+y_2}{2}$

1. Довжина сторони трикутника $AB$

Обчислимо довжину відрізка $AB$ за координатами точок $A(-2;3)$ та $B(6;-3)$:
$AB=\sqrt{(6-(-2){)}^2+(-3-3{)}^2}=\sqrt{(6+2{)}^2+(-6{)}^2}=\sqrt{8^2+(-6{)}^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$
Отже, пункту 1 відповідає значення Б.

2. Довжина медіани $AM$

Медіана трикутника сполучає його вершину із серединою протилежної сторони. Таким чином, точка $M$ є серединою сторони $BC$.
Знайдемо координати точки $M$, знаючи $B(6;-3)$ та $C(0;-15)$:
$x_M=\frac{6+0}{2}=\frac{6}{2}=3$
$y_M=\frac{-3+(-15)}{2}=\frac{-18}{2}=-9$
Отже, точка $M$ має координати $(3;-9)$.

Обчислимо довжину медіани $AM$ за координатами точок $A(-2;3)$ і $M(3;-9)$:
$AM=\sqrt{(3-(-2){)}^2+(-9-3{)}^2}=\sqrt{(3+2{)}^2+(-12{)}^2}=\sqrt{5^2+(-12{)}^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$
Отже, пункту 2 відповідає значення В.

3. Довжина середньої лінії $MN$

Оскільки точка $N$ є серединою сторони $AB$, а точка $M$ — серединою сторони $BC$, то відрізок $MN$ є середньою лінією трикутника $ABC$, яка паралельна стороні $AC$.

Спосіб 1 (за властивістю середньої лінії трикутника):
Середня лінія трикутника дорівнює половині сторони, до якої вона паралельна:
$MN=\frac{1}{2}\cdot AC$
Знайдемо довжину сторони $AC$ за координатами точок $A(-2;3)$ та $C(0;-15)$:
$AC=\sqrt{(0-(-2){)}^2+(-15-3{)}^2}=\sqrt{2^2+(-18{)}^2}=\sqrt{4+324}=\sqrt{328}=\sqrt{4\cdot 82}=2\sqrt{82}$
Тоді довжина середньої лінії:
$MN=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{82}=\sqrt{82}$

Спосіб 2 (через координати):
Знайдемо координати точки $N$ як середини $AB$:
$x_N=\frac{-2+6}{2}=\frac{4}{2}=2,y_N=\frac{3+(-3)}{2}=\frac{0}{2}=0⟹N(2;0)$
Обчислимо довжину $MN$ за координатами точок $M(3;-9)$ та $N(2;0)$:
$MN=\sqrt{(2-3{)}^2+(0-(-9){)}^2}=\sqrt{(-1{)}^2+9^2}=\sqrt{1+81}=\sqrt{82}$
Отже, пункту 3 відповідає значення Г.

Відповідь:
1 — Б, 2 — В, 3 — Г.